ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. α) Αφού ορίσετε την απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού,
να αποδείξετε οτι για τους πραγματικούς $\displaystyle{ \alpha ,\beta}$ την ιδιότητα $\displaystyle{\left||\alpha|-|\beta|\right| \le |\alpha+\beta| \le |\alpha|+ |\beta|}$
β) Συναρτήσει των $\displaystyle{\alpha, \beta}$ και της απόλυτης τιμής της διαφοράς $\displaystyle{\beta-\alpha}$ , πως εκφράζεται ο μέγιστος και πως ο ελάχιστος των $\displaystyle{\alpha, \beta}$ ;

2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \displaystyle\left(x-3y+\frac{1}{z}\right)(x+z) =6 \\ \\ \displaystyle\left(x+\frac{1}{z}\right)\frac{1}{y} =9 \\ \\ \displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} =\frac{9}{2} \end{matrix}\right}}$ με $\displaystyle{x,y,z \ne 0}$

3. α) Να δείξετε οτι οι ρίζες $\displaystyle{\rho_1, \rho_2}$ του πολυωνύμου $\displaystyle{x^2-2\alpha x+\beta}$ είναι πραγματικές αν ισχύει ότι $\displaystyle{\beta \ne 0}$ και $\displaystyle{|\rho_1|\ne |\rho_2|}$ . (*)
β) Αν $\displaystyle{\lambda=2\left|\frac{2\alpha^2-\beta}{\beta}\right|}$ , και $\displaystyle{M=max \,\left(\left|\frac{\rho_1}{\rho_2}\right|,\left|\frac{\rho_2}{\rho_1}\right|\right)}$ , $\displaystyle{m=min \,\left(\left|\frac{\rho_1}{\rho_2}\right|,\left|\frac{\rho_2}{\rho_1}\right|\right)}$ ,
τότε ισχύουν οι σχέσεις $\displaystyle{\lambda-1<M<\lambda}$ , $\displaystyle{\frac{1}{\lambda}<m<\frac{1}{\lambda-1}}$ και είναι $\displaystyle{\lambda>2}$

(*) Από το Δελτίο του Πάλλα (1968 σελ.14) επισημαίνεται πως έπρεπε να δοθεί επιπλέον το $\displaystyle{ \alpha,\beta \in \mathbb{R}}$ και το $\displaystyle{\alpha \ne 0}$ ,
για τον λόγο αυτό χρησιμοποιεί τα εξής αντιπαραδείγματα $\displaystyle{x^2-8ix-15=0\,\,, x^2-16=0}$

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \displaystyle\left(x-3y+\frac{1}{z}\right)(x+z) =6 \\ \\ \displaystyle\left(x+\frac{1}{z}\right)\frac{1}{y} =9 \\ \\ \displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} =\frac{9}{2} \end{matrix}\right}}$ με $\displaystyle{x,y,z \ne 0}$

$\displaystyle\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\left( {x - 3y + \frac{1}{z}} \right)\left( {x + z} \right) = 6\;\left( 1 \right)\\ \displaystyle\left( {x + \frac{1}{z}} \right)\frac{1}{y} = 9\quad \quad \quad \;\;\;\left( 2 \right)\\ \displaystyle\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{9}{2}\quad \quad \quad \;\;\,\left( 3 \right) \end{array} \right.$

$\displaystyle\left( 2 \right) \Rightarrow x + \frac{1}{z} = 9y\;\left( 4 \right)$

$\displaystyle\left( 1 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right)} 6y\left( {x + z} \right) = 6 \Leftrightarrow xy + yz = 1\;\left( 5 \right)$

$\displaystyle\left( 3 \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot xyz \ne 0} yz + xz + xy = \frac{9}{2}xyz\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 5 \right)} xz = \frac{9}{2}xyz - 1\; \Leftrightarrow 2xz = 9xyz - 2\left( 6 \right)$

$\displaystyle{\left( 4 \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{ \cdot z} xz + 1 = 9yz \Leftrightarrow xz = 9yz - 1\;\left( 7 \right)}$

$\displaystyle\left( 6 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 7 \right)} 2\left( {9yz - 1} \right) = 9xyz - 2 \Leftrightarrow 18yz - 2 = 9xyz - 2\mathop \Leftrightarrow \limits^{:9yz \ne 0} x = 2$

$\displaystyle\left( 5 \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{x = 2} 2y + yz = 1\; \Leftrightarrow yz = 1 - 2y\;\left( 8 \right)$

$\displaystyle\left( 6 \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{x = 2} 4z = 18yz - 2 \Leftrightarrow 2z = 9yz - 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 8 \right)} \;2z = 9 - 18y - 1 \Leftrightarrow z = 4 - 9y\left( 9 \right)$

$\displaystyle\left( 8 \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 9 \right)} y\left( {4 - 9y} \right) = 1 - 2y \Leftrightarrow 9{y^2} - 6y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}$

Με $\displaystyle y = \frac{1}{3}$ η $\left( 9 \right) \Leftrightarrow z = 1$

Άρα $\displaystyle\left( {x,\;y,\;z} \right) = \left( {2,\;\frac{1}{3},\;1} \right)$ που επαληθεύουν το σύστημα.

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:3. α) Να δείξετε οτι οι ρίζες $\displaystyle{\rho_1, \rho_2}$ του πολυωνύμου $\displaystyle{x^2-2\alpha x+\beta}$ είναι πραγματικές αν ισχύει ότι $\displaystyle{\beta \ne 0}$ και $\displaystyle{|\rho_1|\ne |\rho_2|}$ . (*)
β) Αν $\displaystyle{\lambda=2\left|\frac{2\alpha^2-\beta}{\beta}\right|}$ , και $\displaystyle{M=max \,\left(\left|\frac{\rho_1}{\rho_2}\right|,\left|\frac{\rho_2}{\rho_1}\right|\right)}$ , $\displaystyle{m=min \,\left(\left|\frac{\rho_1}{\rho_2}\right|,\left|\frac{\rho_2}{\rho_1}\right|\right)}$ ,
τότε ισχύουν οι σχέσεις $\displaystyle{\lambda-1<M<\lambda}$ , $\displaystyle{\frac{1}{\lambda}<m<\frac{1}{\lambda-1}}$ και είναι $\displaystyle{\lambda>2}$

(*) Από το Δελτίο του Πάλλα (1968 σελ.14) επισημαίνεται πως έπρεπε να δοθεί επιπλέον το $\displaystyle{ \alpha,\beta \in \mathbb{R}}$ και το $\displaystyle{\alpha \ne 0}$ ,
για τον λόγο αυτό χρησιμοποιεί τα εξής αντιπαραδείγματα $\displaystyle{x^2-8ix-15=0\,\,, x^2-16=0}$

εδώ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1968 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση