ΘΑΛΗΣ 1994 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

Την χρονιά 1994-5 τα θέματα του Θαλή για κάθε τάξη αποτελούνταν από 10 πολλαπλής και 3 ανάπτυξης.

ΜΕΡΟΣ Α

A1. Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ , το τρίγωνο που ορίζουν οι ευθείες $\displaystyle{ (\varepsilon_1): y=-4, (\varepsilon_2): y=\lambda x+7, (\varepsilon_3): y=-\lambda x+7}$
είναι ισόπλευρο;

α) $\displaystyle{\sqrt2}$ β) $\displaystyle{\frac{\sqrt2}{2}}$ γ) $\displaystyle{ \frac{\sqrt3}{2}}$ δ) $\displaystyle{1}$ ε) $\displaystyle{\sqrt3}$

A2. Αν $\displaystyle{A}$ είναι ένας $\displaystyle{2\ , x \, 2}$ πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς και $\displaystyle{A^2=-\mathbb{I}_2}$ , τότε ο $\displaystyle{A}$ είναι:

α) $\displaystyle{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$ β) $\displaystyle{\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}}$ γ) $\displaystyle{\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}$ δ) $\displaystyle{\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}}$ ε) κανένα από τα παραπάνω

A3. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{3^{1994}}$ δια του $\displaystyle{ 13}$ είναι:

α) $\displaystyle{1}$ β) $\displaystyle{3}$ γ) $\displaystyle{5}$ δ) $\displaystyle{7}$ ε) $\displaystyle{9}$

A4. Η συνάρτηση $\displaystyle{f:[1,+\infty) \to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})+\log (\sqrt{x^2+1}-x)}$ είναι

α) γνησίως αύξουσα β) γνησίως φθίνουσα γ) σταθερή δ) μηδενική ε) κανένα από τα παραπάνω

A5. Αν $\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}}$ η εξίσωση $\displaystyle{\begin{bmatrix} 0 & x\\ x & y \end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix} x & x\\ x & x+y \end{bmatrix}}$ έχει

α) $\displaystyle{0}$ λύσεις β) $\displaystyle{1}$ λύση γ) $\displaystyle{2}$ λύσεις δ) $\displaystyle{3 }$ λύσεις ε) $\displaystyle{4}$ λύσεις

A6. Αν το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} ax+by=c \\ bx+cy=a \\ cx+ay=b \end{cases}}$ έχει λύση τότε

α) $\displaystyle{a=b=c}$ β) $\displaystyle{a-b=b-c=c-a}$ γ) $\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}}$ δ) $\displaystyle{a=1, b=2, c=0}$ ε) $\displaystyle{a^3+b^3+c^3=3abc}$

A7. Έστω κύκλος $\displaystyle{C}$ με ακτίνα $\displaystyle{r=4}$ .
Το τετράπλευρο με το μέγιστο εμβαδόν που μπορεί να εγγραφεί στον κύκλο $\displaystyle{C}$ έχει εμβαδόν:

α) $\displaystyle{32}$ β) $\displaystyle{80}$ γ) $\displaystyle{64}$ δ) $\displaystyle{40\sqrt{3}}$ ε) $\displaystyle{60\sqrt{2}}$

A8. Κάποιος έγραψε $\displaystyle{6}$ χριστουγεννιάτικες κάρτες $\displaystyle{\alpha, \beta, \gamma ,\delta, \varepsilon, \sigma \tau}$ και ήθελε να τους βάλει σε $\displaystyle{6}$ φακέλους $\displaystyle{A,B, \Gamma ,\Delta, E, \Sigma T}$ αντίστοιχα
και να τις ταχυδρομήσει. Από λάθος όμως τοποθέτησε κάθε μια κάρτα σε έναν τυχαίο φάκελο.
Η πιθανότητα να τοποθετήσει τις μισές κάρτες στον αντίστοιχο φάκελο είναι:

α) $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ β) $\displaystyle{\frac{1}{6}}$ γ) $\displaystyle{\frac{1}{18}}$ δ) $\displaystyle{\frac{1}{24}}$ ε) $\displaystyle{\frac{1}{60}}$

A9. Οι μαθητές που αρίστευσαν σε ένα διαγώνισμα είναι $\displaystyle{8}$ . Η πιθανότητα να είναι $\displaystyle{4}$ αγόρια και $\displaystyle{4}$ κορίτσια είναι:

α) $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ β) $\displaystyle{\frac{2}{8}}$ γ) $\displaystyle{\frac{17}{64}}$ δ) $\displaystyle{\frac{35}{128}}$ ε) $\displaystyle{\frac{60}{256}}$

A10. Έστω $\displaystyle{100}$ -γωνο $\displaystyle{A_1A_2...A_{100}}$ . Το πλήθος των διαγωνίων του που ενώνουν δυο κορυφές,
από τις οποίες η μια έχει άρτιο και η άλλη περιττό δείκτη (πχ. $\displaystyle{A_1A_8,A_{10}A_{11},A_9A_{44}}$ ) είναι:

α) $\displaystyle{1200}$ β) $\displaystyle{2350}$ γ) $\displaystyle{1175}$ δ) $\displaystyle{300}$ ε) $\displaystyle{2400}$

ΜΕΡΟΣ Β

B1. Έστω $\displaystyle{A,B\,\,\, \nu \, x \, \nu}$ πίνακες με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς και $\displaystyle{AB=\mathbb{O}}$ .
Αν υποθέσουμε οτι για κάθε $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακα $\displaystyle{ \Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{ | \mathbb{I}_{\nu}+\Gamma^2|\ge 0}$ ,
να αποδείξετε ότι $\displaystyle{ | \mathbb{I}_{\nu}+A^{2\kappa}+B^{2\rho}|\ge 0}$ όπου $\displaystyle{ \kappa,\rho \in \mathbb{N}^*}$

B2. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}}$ , όχι όλοι ίσοι με $\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma \ne 0}$ .
Να αποδείξετε οτι για κάθε συνάρτηση $\displaystyle{g:\mathbb{R}-\{0,1\}\,\,\to\,\,\mathbb{R} }$ υπάρχει μια μοναδική συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}-\{0,1\}\,\,\to\,\,\mathbb{R} }$ ,
τέτοια ώστε $\displaystyle{ \alpha f(x)+\beta f\left(\frac{x-1}{x}\right)+\gamma f\left(\frac{1}{1-x}\right)=g(x) }$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}-\{0,1\}}$

B3. Να αποδείξετε οτι υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που τα $\displaystyle{4}$ τελευταία τους ψηφία είναι $\displaystyle{1994}$ και διαιρούνται με τον $\displaystyle{1993}$ .

Παράκληση:
Καλύτερα για τα πολλαπλής ερωτήματα να δοθεί αναλυτική λύση, σαν να ήταν ανάπτυξης.

Υ.Γ.1. Το κόκκινο κουτάκι (για να κυκλώνετε την απάντηση σας) σε $\displaystyle{\LaTeX}$ είναι {\color{red}\fbox{...}} δηλαδή το $\displaystyle{{\color{red}\fbox{...}}$
Υ.Γ.2. Αντιγράφω από τον Ευκλείδη Β' κη (έτος 94-5) τ.2/19 (τεύχος/σελίδα ) το παρακάτω

Στο 7ο θέμα πολλαπλής επιλογής από τυπογραφικό λάθος είχε γραφεί αντί του σωστού $\displaystyle{32}$ ο αριθμός $\displaystyle{12}$ .
Η Επιτροπή Διαγωνισμών κατά τη βαθμολόγηση δεν θα λάβει υπ'όψη το θέμα,
εκτός κι αν κάποιος μαθητής είχε βρει το σωστό αποτέλεσμα και το έγραψε ως παρατήρηση.

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε: B2. Έστω $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}$ , όχι όλοι ίσοι με $\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma \ne 0}$ .
Να αποδείξετε οτι για κάθε συνάρτηση $\displaystyle{g:\mathbb{R}-\{0,1\}\,\,\to\,\,\mathbb{R} }$ υπάρχει μια μοναδική συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}-\{0,1\}\,\,\to\,\,\mathbb{R} }$ ,
τέτοια ώστε $\displaystyle{ \alpha f(x)+\beta f\left(\frac{x-1}{x}\right)+\gamma f\left(\frac{1}{1-x}\right)=g(x) }$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}-\{0,1\}}$

Θέτοντας διαδοχικά στην σχέση που δίνεται όπου

τους $\dfrac{x-1}{x}\;,\;\dfrac{1}{1-x}$ έχουμε το σύστημα :

$\begin{cases}\alpha f(x)+\beta f\left(\dfrac{x-1}{x}\right)+\gamma f\left(\dfrac{1}{1-x}\right)=g(x)\\ \gamma f(x)+\alpha f\left(\dfrac{x-1}{x}\right)+\beta f\left(\dfrac{1}{1-x}\right)=g\left(\dfrac{x-1}{x}\right)\\ \beta f(x)+\gamma f\left(\dfrac{x-1}{x}\right)+\alpha f\left(\dfrac{1}{1-x}\right)=g\left(\dfrac{1}{1-x}\right)\end{cases}$ που είναι γραμμικό ως προς $f(x)\;,\;f\left(\dfrac{x-1}{x}\right)\;,\;f\left(\dfrac{1}{1-x}\right)$ .

Η ορίζουσα στου συστήματος είναι $D=\left|\begin{array}{ccc}\alpha&\beta&\gamma\\\gamma&\alpha&\beta\\\beta&\gamma&\alpha\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\alpha+\beta+\gamma&\beta&\gamma\\\alpha+\beta+\gamma&\alpha&\beta\\\alpha+\beta+\gamma&\gamma&\alpha\end{array}\right|=$
$=(\alpha+\beta+\gamma)\left|\begin{array}{ccc}1&\beta&\gamma\\1&\alpha&\beta\\1&\gamma&\alpha\end{array}\right|=(\alpha+\beta+\gamma)\left|\begin{array}{ccc}1&\beta&\gamma\\0&\alpha-\beta&\beta-\gamma\\0&\gamma-\beta&\alpha-\gamma\end{array}\right|=$
$=(\alpha+\beta+\gamma)\left(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\alpha\gamma-\beta\gamma\right)=$
$=\dfrac{1}{2}(\alpha+\beta+\gamma)\left[(\alpha-\beta)^2+(\beta-\gamma)^2+(\gamma-\alpha)^2\right]\neq 0$ αφού οι $\alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}$ , δεν είναι όλοι ίσοι και $\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma \ne 0}$ .

Επομένως το σύστημα έχει μοναδική λύση και έτσι υπάρχει μια μοναδική συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}-\{0,1\}\,\,\to\,\,\mathbb{R} }$ που ικανοποιεί τα παραπάνω.

BAGGP93 · #3

parmenides51 έγραψε:

A3. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{3^{1994}}$ δια του $\displaystyle{ 13}$ είναι:

α) $\displaystyle{1}$ β) $\displaystyle{3}$ γ) $\displaystyle{5}$ δ) $\displaystyle{7}$ ε) $\displaystyle{9}$

Η σωστή απάντηση είναι η $\displaystyle{\epsilon):\color{red}\fbox{9}}$

Απόδειξη

Από την Ευκλείδεια Διαίρεση του $\displaystyle{1994}$ με το $\displaystyle{12}$ , έχουμε ότι $\displaystyle{1994=166\cdot 12+2}$

Επειδή ο $\displaystyle{13}$ είναι πρώτος, έχουμε $\displaystyle{\varphi(13)=13-1=12}$ , όπου

$\displaystyle{\varphi:\mathbb{N}\to \mathbb{N}}$ είναι η συνάρτηση του $\displaystyle{Euler}$ .

Έτσι, αφού $\displaystyle{\left(3,13\right)=1}$ , από το Θεώρημα του $\displaystyle{Euler}$ προκύπτει

$\displaystyle{3^{1994}=3^{166\cdot 12+2}=\left(3^{12}\right)^{166}\cdot 3^2=\left(3^{\varphi(13)}\right)^{166}\cdot 9\equiv 1^{166}\cdot 9 \pmod{13}\equiv 9 \pmod{13}}$

BAGGP93 · #4

parmenides51 έγραψε:

A4. Η συνάρτηση $\displaystyle{f:[1,+\infty) \to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})+\log (\sqrt{x^2+1}-x)}$ είναι

α) γνησίως αύξουσα β) γνησίως φθίνουσα γ) σταθερή δ) μηδενική ε) κανένα από τα παραπάνω

Η σωστή απάντηση είναι η $\displaystyle{\color{red}\fbox{\delta}}$

Πράγματι, για κάθε $\displaystyle{x\geq 1}$ είναι

$\displaystyle{x+\sqrt{x^2+1}>0\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\sqrt{x^2+1}-x>0}$

και επί πλέον

$\displaystyle{\begin{aligned}f(x)&=\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+\log \left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\\&=\log \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)+\log \left(\sqrt{x^2+1}-x}\right)\\&=\log \left[\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\right]\\&=\log \left(x^2+1-x^2\right)\\&=\log 1\\&=0\end{aligned}}$

#5

parmenides51 έγραψε:
A3. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{3^{1994}}$ δια του $\displaystyle{ 13}$ είναι:

α) $\displaystyle{1}$ β) $\displaystyle{3}$ γ) $\displaystyle{5}$ δ) $\displaystyle{7}$ ε) $\displaystyle{9}$

Απλούστερα, με απολύτως στοιχειώδη μέσα:

$\displaystyle{3^3\equiv 1\mod 13 \implies (3^3)^{664}\equiv 1\mod 13\implies 3^{1992}\equiv 1\mod 13\implies 3^{1994}\equiv 9\mod 13.}$

BAGGP93 · #6

parmenides51 έγραψε:

A5. Αν $\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}}$ η εξίσωση $\displaystyle{\begin{bmatrix} 0 & x\\ x & y \end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix} x & x\\ x & x+y \end{bmatrix}}$ έχει

α) $\displaystyle{0}$ λύσεις β) $\displaystyle{1}$ λύση γ) $\displaystyle{2}$ λύσεις δ) $\displaystyle{3 }$ λύσεις ε) $\displaystyle{4}$ λύσεις

Η σωστή απάντηση είναι η $\displaystyle{\color{blue}\fbox{\delta}}$

Απόδειξη

Είναι,

$\displaystyle{\left[\begin{matrix} 0 & x\\ x & y \end{matrix}\right]^2=\left[\begin{matrix} 0 & x\\ x & y \end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix} 0 & x\\ x & y \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0\cdot 0+x\cdot x & 0\cdot x+x\cdot y\\ x\cdot 0+y\cdot x & x\cdot x+y\cdot y \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} x^2 & xy\\ xy & x^2+y^2 \end{matrix}\right]}$

Συνεπώς, από την εξίσωση πινάκων, λαμβάνουμε

$\displaystyle{x^2=x\,\,,xy=x\,\,,x^2+y^2=x+y}$

Είναι, $\displaystyle{x^2=x\Leftrightarrow x=0\ \lor x=1}$

Αν $\displaystyle{x=0}$ , τότε η δεύτερη είναι αληθής ενω η τρίτη δίνει,

$\displaystyle{y^2=y\Leftrightarrow y=0\ \lor y=1}$

Αν $\displaystyle{x=1}$ , τότε, από την δεύτερη εξίσωση είναι $\displaystyle{y=1}$ που ικανοποιεί την τρίτη,

άρα, $\displaystyle{\left(x,y\right)\in\left\{\left(0,0\right),\left(0,1\right),\left(1,1\right)\right\}}$

#7

ΜΕΡΟΣ Α

A1. Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ , το τρίγωνο που ορίζουν οι ευθείες $\displaystyle{ (\varepsilon_1): y=-4, (\varepsilon_2): y=\lambda x+7, (\varepsilon_3): y=-\lambda x+7}$
είναι ισόπλευρο;

α) $\displaystyle{\sqrt2}$ β) $\displaystyle{\frac{\sqrt2}{2}}$ γ) $\displaystyle{ \frac{\sqrt3}{2}}$ δ) $\displaystyle{1}$ ε) $\displaystyle{\color{red} \boxed{\sqrt3}}$

Πρέπει $\lambda \ne 0$ για να τέμνονται ανά δύο. Τα σημεία τομής είναι $\displaystyle{A(0,7),B(-\frac{11}{\lambda},-4), C(\frac{11}{\lambda},-4).}$

Θέλουμε $\displaystyle{AB=BC=CA}$ που δίνει $\displaystyle{\lambda =\pm \sqrt{3}.}$ Και στις δυο περιπτώσεις προκύπτουν οι ίδιες ευθείες.

A2. Αν $\displaystyle{A}$ είναι ένας $\displaystyle{2\ , x \, 2}$ πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς και $\displaystyle{A^2=-\mathbb{I}_2}$ , τότε ο $\displaystyle{A}$ είναι:

α) $\displaystyle{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$ β) $\displaystyle{\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}}$ γ) $\displaystyle{\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}$ δ) $\displaystyle{\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}}$ ε) κανένα από τα παραπάνω

Μια λύση είναι ο πίνακας της απάντησης γ). Όμως και ο $\displaystyle{\displaystyle{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}}[}$ είναι λύση οπότε δε συνεπάγεται ότι είναι αναγκαστικά κάποιος από τους αναφερόμενους...

Περίεργη ερώτηση...

A3. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{3^{1994}}$ δια του $\displaystyle{ 13}$ είναι:

α) $\displaystyle{1}$ β) $\displaystyle{3}$ γ) $\displaystyle{5}$ δ) $\displaystyle{7}$ ε) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{9}}$

Είναι $\displaystyle{3^3\equiv 1 {\pmod13}}$ οπότε $\displaystyle{3^{1994}\equiv 3^{3k +2}\equiv 3^2\equiv 9 \pmod 13.}$

A4. Η συνάρτηση $\displaystyle{f:[1,+\infty) \to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})+\log (\sqrt{x^2+1}-x)}$ είναι

α) γνησίως αύξουσα β) γνησίως φθίνουσα γ) σταθερή δ) μηδενική ε) κανένα από τα παραπάνω

Είναι, με διαφορά τετραγώνων, f(x)=0,

για κάθε

Δύο σωστές απαντήσεις!

A5. Αν $\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}}$ η εξίσωση $\displaystyle{\begin{bmatrix} 0 & x\\ x & y \end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix} x & x\\ x & x+y \end{bmatrix}}$ έχει

α) $\displaystyle{0}$ λύσεις β) $\displaystyle{1}$ λύση γ) $\displaystyle{2}$ λύσεις δ) $\displaystyle{ \color{red} \boxed{3} }$ λύσεις ε) $\displaystyle{4}$ λύσεις

Είναι

$\displaystyle{\begin{bmatrix} 0 & x\\ x & y \end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix} x & x\\ x & x+y \end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix} x^2 & xy\\ xy & x^2+ y^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x & x\\ x & x+y \end{bmatrix}}\iff \begin{cases} x^2=x \\ xy=x \\ x^2+y^2=x+y \end{cases} \iff (x,y)=(0,1),(0,0),(1,1)$

A6. Αν το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} ax+by=c \\ bx+cy=a \\ cx+ay=b \end{cases}}$ έχει λύση τότε

α) $\displaystyle{a=b=c}$ β) $\displaystyle{a-b=b-c=c-a}$ γ) $\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}}$ δ) $\displaystyle{a=1, b=2, c=0}$ ε) $\displaystyle{a^3+b^3+c^3=3abc}$

Το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} ax+by-zc=0 \\ bx+cy-za=0 \\ cx+ay-zb=0 \end{cases}}$

Έχει τη μη μηδενική λύση $\displaystyle{(x,y,1)}$ οπότε η ορίζουσά του είναι μηδέν:

$\displaystyle{\begin{vmatrix} a & b & -c \\ b & c &-a \\ c & a & -b \end{vmatrix}=0 \iff a^3+b^3+c^3=3abc.}$

A7. Έστω κύκλος $\displaystyle{C}$ με ακτίνα $\displaystyle{r=4}$ .
Το τετράπλευρο με το μέγιστο εμβαδόν που μπορεί να εγγραφεί στον κύκλο $\displaystyle{C}$ έχει εμβαδόν:

α) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{32}}$ β) $\displaystyle{80}$ γ) $\displaystyle{64}$ δ) $\displaystyle{40\sqrt{3}}$ ε) $\displaystyle{60\sqrt{2}}$

Αν

οι διαγώνιες του τετραπλεύρου και $\omega$ η γωνία που σχηματίζουν, τότε για το εμβαδόν

του τετραπλεύρου έχουμε

$\displaystyle{E=\frac{1}{2}d_1d_2\sin \omega \leq \frac{1}{2}d_1d_2\leq \frac{1}{2} 2r \cdot 2r=2r^2,}$

με την ισότητα να ισχύει για το τετράγωνο (με πλευρά $4\sqrt{2}$ ).

A8. Κάποιος έγραψε $\displaystyle{6}$ χριστουγεννιάτικες κάρτες $\displaystyle{\alpha, \beta, \gamma ,\delta, \varepsilon, \sigma \tau}$ και ήθελε να τους βάλει σε $\displaystyle{6}$ φακέλους $\displaystyle{A,B, \Gamma ,\Delta, E, \Sigma T}$ αντίστοιχα
και να τις ταχυδρομήσει. Από λάθος όμως τοποθέτησε κάθε μια κάρτα σε έναν τυχαίο φάκελο.
Η πιθανότητα να τοποθετήσει τις μισές κάρτες στον αντίστοιχο φάκελο είναι:

α) $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ β) $\displaystyle{\frac{1}{6}}$ γ) $\displaystyle{{\color{red}\boxed{\frac{1}{18}}}$ δ) $\displaystyle{\frac{1}{24}}$ ε) $\displaystyle{\frac{1}{60}}$

Ο συνολικός αριθμός τοποθετήσεων καρτών σε φακέλους είναι

(διατάξεις των 6 ανά 6).

Τις 3 σωστά τοποθετημένες κάρτες τις επιλέγουμε με $\displaystyle{\binom{6}{3}}$ τρόπους και για κάθε τέτοια τοποθέτηση υπάρχουν μόνο 2 πιθανές τοποθετήσεις των άλλων τριών καρτών ώστε να είναι όλες σε αναντίστοιχο φάκελο (π.χ. για τις κάρτες α,β,γ είναι Αβ,Βγ,Γα και Αγ,Βα,Γβ).

Έτσι η ζητούμενη πιθανότητα είναι $\displaystyle{\frac{\binom{6}{3}\cdot 2}{6!}=\frac{1}{18}.}$

A9. Οι μαθητές που αρίστευσαν σε ένα διαγώνισμα είναι $\displaystyle{8}$ . Η πιθανότητα να είναι $\displaystyle{4}$ αγόρια και $\displaystyle{4}$ κορίτσια είναι:

α) $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ β) $\displaystyle{\frac{2}{8}}$ γ) $\displaystyle{\frac{17}{64}}$ δ) $\displaystyle \color{red} \boxed{ \frac{35}{128} }$ ε) $\displaystyle{\frac{60}{256}}$

Κάθε μαθητής είναι είτε αγόρι είτε κορίτσι. Έτσι το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων είναι $\displaystyle{2^8=256.}$

Για να έχουμε

αγόρια και

κορίτσια αρκεί να επιλέξουμε τα

αγόρια (ή τα

κορίτσια). Αυτό γίνεται με $\displaystyle{\binom{8}{4}}$ τρόπους.

Έτσι η ζητούμενη πιθανότητα είναι $\displaystyle{\frac{\binom{8}{4}}{256}=\frac{35}{128}.}$

A10. Έστω $\displaystyle{100}$ -γωνο $\displaystyle{A_1A_2...A_{100}}$ . Το πλήθος των διαγωνίων του που ενώνουν δυο κορυφές,
από τις οποίες η μια έχει άρτιο και η άλλη περιττό δείκτη (πχ. $\displaystyle{A_1A_8,A_{10}A_{11},A_9A_{44}}$ ) είναι:

α) $\displaystyle{1200}$ β) $\displaystyle{2350}$ γ) $\displaystyle{1175}$ δ) $\displaystyle{300}$ ε) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{2400}}$

Ο περιττός δείκτης επιλέγεται με

τρόπους και με ισάριθμους ο άρτιος δείκτης. Όμως πρέπει να αφαιρέσουμε τις διαγωνίους της μορφής $\displaystyle{A_iA{i+1}}$ (πλευρές).

Έτσι το ζητούμενο πλήθος των διαγωνίων είναι $50 \times 50-100 =2400.$

kostas_zervos · #8

parmenides51 έγραψε:
B3. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που τα $\displaystyle{4}$ τελευταία τους ψηφία είναι $\displaystyle{1994}$ και διαιρούνται με τον $\displaystyle{1993}$ .

Ένα τέτοιος φυσικός

θα έχει τη μορφή $n=10.000k+1994\;,\;k\in\mathbb{N}$ .

Άρα θα πρέπει $1993|n \iff 1993|10.000k+1993+1$ , επομένως

. Έστω $\pi$ το πηλίκο της διαίρεσης του 10.000k+1

με το

.

Πρέπει το τελευταίο ψηφίο του γινομένου $1993\cdot \pi$ να είναι

, άρα το τελευταίο ψηφίο του $\pi$ είναι

.

Έτσι $\pi=10m_1+7$ και $10.000k+1=1993\cdot \pi=19930\cdot m_1+13950+1=10(1993 m_1+1395)+1$ .

Έτσι $10.000k+1=10(1993 m_1+1395)+1\iff 1.000k=1993m_1+1395\;,\;m_1\in\mathbb{N}$

Πρέπει το τελευταίο ψηφίο του

να είναι

, άρα το τελευταίο ψηφίο του 1993m_1

να είναι

, επομένως το τελευταίο ψηφίο του m_1

να είναι

έτσι $m_1=10m_2+5\;,\;m_2\in\mathbb{N}$ .

Άρα 1.000k=1993m_1+1935=1993(10m_2+5)+1395=19930m_2+11360

, άρα

.

Πρέπει το τελευταίο ψηφίο του 1993m_2+1136

να είναι

, άρα το τελευταίο ψηφίο του 1993m_2

να είναι

, επομένως το τελευταίο ψηφίο του m_2

να είναι

έτσι $m_2=10m_3+8\;,\;m_3\in\mathbb{N}$ .

Άρα 100k=1993m_2+1136=1993(10m_3+8)+1136=19930m_3+17080

, άρα

.

Πρέπει το τελευταίο ψηφίο του 1993m_3+1708

να είναι

, άρα το τελευταίο ψηφίο του 1993m_3

να είναι

, επομένως το τελευταίο ψηφίο του m_3

να είναι

έτσι $m_3=10m_4+4\;,\;m_4\in\mathbb{N}$ .

Άρα 10k=1993m_3+1708=1993(10m_4+4)+1708=19930m_4+9680

, άρα

.

Έτσι

$=19930000m_4+9680.000+1994\;,\;m_4\in\mathbb{N}$ .

Όλοι αυτοί έχουν τελευταία τέσσερα ψηφία τα 1994

και

αφού

#9

parmenides51 έγραψε: B1. Έστω $\displaystyle{A,B\,\,\, \nu \, x \, \nu}$ πίνακες με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς και $\displaystyle{AB=\mathbb{O}}$ .
Αν υποθέσουμε οτι για κάθε $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακα $\displaystyle{ \Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{ | \mathbb{I}_{\nu}+\Gamma^2|\ge 0}$ ,
να αποδείξετε ότι $\displaystyle{ | \mathbb{I}_{\nu}+A^{2\kappa}+B^{2\rho}|\ge 0}$ όπου $\displaystyle{ \kappa,\rho \in \mathbb{N}^*}$

Από την υπόθεση είναι

$\displaystyle{\rm |I+A^{2k}|\geq 0 \wedge |I+B^{2\rho }|\geq 0,}$ οπότε είναι

$\displaystyle{\rm |I+A^{2k}|\cdot |I+B^{2\rho }|\geq 0\implies |(I+A^{2k})(I+B^{2\rho })|\geq 0}$ .

Εκτελώντας τους πολλαπλασιασμούς και λαμβάνοντας υπόψιν ότι $\displaystyle{\rm A^{2k}B^{2\rho}=A^{2k-1}(AB)B^{2\rho -1}=\bf 0}$

προκύπτει το ζητούμενο.

Ας αναφερθεί ότι η ιδιότητα

parmenides51 έγραψε: Για κάθε $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακα $\displaystyle{ \Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{ | \mathbb{I}_{\nu}+\Gamma^2|\ge 0}$ ,

αποδεικνύεται εδώ.

#10

parmenides51 έγραψε: B3. Να αποδείξετε οτι υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που τα $\displaystyle{4}$ τελευταία τους ψηφία είναι $\displaystyle{1994}$ και διαιρούνται με τον $\displaystyle{1993}$ .

$\displaystyle{\boxed{1993\cdot 24858=49541994}}$

kostas_zervos · #11

matha έγραψε:
parmenides51 έγραψε: B3. Να αποδείξετε οτι υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που τα $\displaystyle{4}$ τελευταία τους ψηφία είναι $\displaystyle{1994}$ και διαιρούνται με τον $\displaystyle{1993}$ .
$\displaystyle{\boxed{1993\cdot 24858=49541994}}$

Σκέφτηκα και εγώ να τη γράψω έτσι στην αρχή , αλλά μετά ήθελα να δείξω και έναν τρόπο πιο... αλγεβρικό και γενικό...

Βασικά χρησιμοποίησα τον αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού για βρω τον ελάχιστο

ώστε $n\cdot 1993=10.0000k+1994$ όπως παρακάτω:

$1993\;\;\times$

______

άρα

$1993\;\;\times$

______

επομένως
$1993\;\;\times$

______
$\;15944$
9965

........
.......

#12

parmenides51 έγραψε:
B3. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που τα $\displaystyle{4}$ τελευταία τους ψηφία είναι $\displaystyle{1994}$ και διαιρούνται με τον $\displaystyle{1993}$ .

Λίγο διαφορετικά από τη λύση του Κώστα:

Έστω A=10000k+1994

ο ζητούμενος αριθμός. Θέλουμε 1993|Α

δηλαδή $1993|(5\cdot 1993+35)k+1993+1$ άρα πρέπει 1993|35k+1

συνεπώς θέλουμε να βρούμε το

ώστε $35k+1=1993m \ (\blacksquare)$ .

Παίρνοντας $\mod{5}$ στην τελευταία έχουμε $3m\equiv 1\pmod{5}$ απ' όπου $m\equiv 2\pmod{5} \ \ (1)$
Παίρνοντας $\mod{7}$ στην τελευταία έχουμε $5m\equiv 1\pmod{7}$ απ΄ όπου $m\equiv 3\pmod{7} \ \ (2)$

Λύνοντας το σύστημα των ισοτιμιών $(1), \ (2)$ (κοίτα $\star$ ), έχουμε $m\equiv 17\pmod{35}$ άρα m=35n+17

.

Αντικαθιστώντας στην $(\blacksquare)$ έχουμε 35k+1=1993(35n+17)

δηλαδή

.

Άρα τελικά οι αριθμοί που έχουν τη ζητούμενη ιδιότητα είναι οι

$\boxed{A=10000(1993n+968)+1994, \ n\in\mathbb{N}}$

$(\star)$ Για να λύσουμε απλά το σύστημα των γραμμικών ισοτιμιών $\begin{cases} m\equiv2\pmod{5} \\ m\equiv3\pmod{7} \end{cases}$ και να βρούμε τη λύση $\mod{35}$ χωρίς χρήση του κινέζικου θεωρήματος υπολοίπων κάνουμε το εξής: Από τη δεύτερη έχουμε m=7m_1+3

. Για να βρούμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του

με το 35 αρκεί να βρούμε ποιο πρέπει να είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του m_1

με το 5 ώστε να ικανοποιείται η σχέση $m\equiv2\pmod{5}$ .

Αν m_1=5n

τότε

που δεν ικανοποιεί τη $m\equiv2\pmod{5}$
Αν m_1=5n+1

τότε

που δεν ικανοποιεί τη $m\equiv2\pmod{5}$
Αν m_1=5n+2

τότε

που ικανοποιεί τη $m\equiv2\pmod{5}$
Αν m_1=5n+3

τότε

που δεν ικανοποιεί τη $m\equiv2\pmod{5}$
Αν m_1=5n+4

τότε

που δεν ικανοποιεί τη $m\equiv2\pmod{5}$

Άρα m=35n+17

.

Αλέξανδρος

parmenides51 · #13

socrates έγραψε:
A4. Η συνάρτηση $\displaystyle{f:[1,+\infty) \to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})+\log (\sqrt{x^2+1}-x)}$ είναι

α) γνησίως αύξουσα β) γνησίως φθίνουσα γ) σταθερή δ) μηδενική ε) κανένα από τα παραπάνω
Είναι, με διαφορά τετραγώνων, για κάθε

Δύο σωστές απαντήσεις!

κι όμως στον Ευκλείδη Β', η απάντηση είναι ''γνησίως φθίνουσα'' , την πάτησες

πάντως

για τον ''δεκάλογο''

ΘΑΛΗΣ 1994 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 1994 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1994 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1994 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1994 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1994 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1994 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1994 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1994 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1994 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1994 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1994 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1994 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1994 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση