Επίθεση στις άρρητες 8

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 3} + \sqrt {x + 5} = \sqrt {x - 1} }$ .

#2

mathxl έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 3} + \sqrt {x + 5} = \sqrt {x - 1} }$ .

Προφανώς αυτή είναι αδύνατη αφού για $x\geq 1$ είναι

$\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 3} + \sqrt {x + 5} >3\sqrt{x-1}{\color{red}\geq} \sqrt {x - 1}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Οι δυνατές τιμές του

είναι $x\geq 1$

H εξίσωση γράφεται $\sqrt{x+5}=\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}-\sqrt{x+3}$ η οποία είναι αδύνατη καθώς το πρώτο μέλος είναι θετικός ενώ το δεύτερο αρνητικός (για $x\geq 1$ είναι
$\sqrt{x-1} \leq \sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}$ που μετά την ύψωση στο τετράγωνο καταλήγει στην $-2\leq \sqrt{(x+1)(x+3)}$ ).

Αλέξανδρος

mathxl · #4

Μέχρι στιγμής σε κάποιες ασκήσεις είδα διαφορετικές λύσεις από την δική μου. Μια από αυτές είναι και αυτή.
Ο τρόπος μου ίσως φανεί από αυτήν την παραλλαγή:
$\displaystyle{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 3} - \sqrt {x + 5} = \sqrt {x - 1} }$ .

#5

mathxl έγραψε:Μέχρι στιγμής σε κάποιες ασκήσεις είδα διαφορετικές λύσεις από την δική μου. Μια από αυτές είναι και αυτή.
Ο τρόπος μου ίσως φανεί από αυτήν την παραλλαγή:
$\displaystyle{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 3} - \sqrt {x + 5} = \sqrt {x - 1} }$ .

Η δοθείσα γράφεται:

$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{x+5}-\sqrt{x+3}$ (1)

οπότε περνώντας στις συζυγείς παίρνουμε

$\dfrac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}=\dfrac{2}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x+3}}$

κι άρα

$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{x+5}+\sqrt{x+3}$ (2)

Προσθέτοντας τις (1) και (2) κατά μέλη παίρνουμε

$2\sqrt{x+1}=2\sqrt{x+5}$

που είναι αδύνατη.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Επίθεση στις άρρητες 8

Επίθεση στις άρρητες 8

Re: Επίθεση στις άρρητες 8

Re: Επίθεση στις άρρητες 8

Re: Επίθεση στις άρρητες 8

Re: Επίθεση στις άρρητες 8

Μέλη σε σύνδεση