Επίθεση στις άρρητες 20

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt[3]{{x + 6}} = {x^3} - 6}$ .

Σ. Διονύσης · #2

mathxl έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt[3]{{x + 6}} = {x^3} - 6}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
εκτός της κλασικής λύσης θέλω και μια αυτόνομη της β λυκείου

Δίνω μια προσέγγιση:

Παρατηρούμε ότι οι συναρτήσεις στα δυο μέλη είναι συμμετρικές ως προς την y=x

Έστω η $f(x)=x^3-6 \; \; \forall x\in\mathbb{R}$

Η

είναι γνησίως αύξουσα και "1-1"

άρα ορίζετε η αντίστροφή της με τύπο:

$\displaystyle{y=x^3-6\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{y+6}}$ δηλαδή: $\displaystyle{f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+6} \; \; \forall x\in\mathbb{R}}$

'Αρα αρκεί να λύσουμε την $\displaystyle{f^{-1}(x)=f(x)}$

και επειδή η

είναι γνήσια αύξουσα για να βρούμε τα κοινά σημεία των "αντίστροφων" συναρτήσεων αρκεί να βρούμε τα κοινά σημεία μιας από αυτές με την ευθεία y=x

.Έπομένως:

${x^3} - 6=x\Leftrightarrow x^3-x-6=0\Leftrightarrow (x-2)(x^2+2x+3)=0\Leftrightarrow x=2$ που είναι και η μοναδική λύση.

Φιλικά,
Διονύσης

mathxl · #3

Αυτή είναι η κλασική που έγραψα στο χάιντ

. Περιμένω μια "νόμιμη".

kostas_zervos · #4

mathxl έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt[3]{{x + 6}} = {x^3} - 6}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
εκτός της κλασικής λύσης θέλω και μια αυτόνομη της β λυκείου

Πρέπει $x\geq -6$ και $x^3\geq 6\iff x\geq \sqrt[3]{6}$

Έστω $y=x^3-6\geq 0$ , τότε $x^3=y+6 \overset{y\geq 0}\iff x=\sqrt[3]{y+6}$

Έτσι $\sqrt[3]{x+6}=y \iff \sqrt[3]{y+6}=x$ .

Άρα έχουμε $\begin{cases}y=\sqrt[3]{x+6}\\x=\sqrt[3]{y+6}\end{cases}\iff \begin{cases}y^3=x+6\\x^3=y+6\end{cases}$ και με αφαίρεση κατά μέλη
$(y-x)(y^2+xy+y^2)=-(y-x) \iff x=y$ ή y^2+xy+y^2=-1

(που είναι αδύνατη αφού $y^2+xy+y^2=\dfrac{(x+y)^2+x^2+y^2}{2}\geq 0$ ).

Έτσι έχουμε $x^3-6=x\iff x^3-x-6=0\iff (x-2)(x^2+2x+3)=0\iff x=2$ .

Σ. Διονύσης · #5

Επίσης αν δε κάνω λάθος μπορεί κάποιος να υψώσει και στο κύβο ...και να το μετανιώσει καθώς κάνει τις πράξεις.

hsiodos · #6

Σ. Διονύσης έγραψε:Επίσης αν δε κάνω λάθος μπορεί κάποιος να υψώσει και στο κύβο ...και να το μετανιώσει καθώς κάνει τις πράξεις.

Διονύση λύνεται και με κλασική παραγοντοποιήση , προσπάθησε την.

Γιώργος

mathxl · #7

Για $x \ge \sqrt[3]{6}$ θέτουμε $y = \sqrt[3]{{x + 6}}$ , έτσι έχουμε: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} = y + 6}\\ {{y^3} = x + 6} \end{array}} \right.$
Έστω $x > y \Rightarrow {x^3} > {y^3} \Rightarrow y + 6 > x + 6 \Rightarrow y > x$ , άτοπο.
Έστω $x < y \Rightarrow {x^3} < {y^3} \Rightarrow y + 6 < x + 6 \Rightarrow y < x$ , άτοπο.
Απομένει η περίπτωση $x = y \Leftrightarrow {x^3} = x + 6\mathop \Leftrightarrow \limits^{Horner} \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ , η οποία είναι δεκτή.

Επίθεση στις άρρητες 20

Επίθεση στις άρρητες 20

Re: Επίθεση στις άρρητες 20

Re: Επίθεση στις άρρητες 20

Re: Επίθεση στις άρρητες 20

Re: Επίθεση στις άρρητες 20

Re: Επίθεση στις άρρητες 20

Re: Επίθεση στις άρρητες 20

Μέλη σε σύνδεση