Επίθεση στις άρρητες 10

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {{x^2} - 16x + 29} = 3\sqrt 2 }$ .

#2

mathxl έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {{x^2} - 16x + 29} = 3\sqrt 2 }$ .

$\displaystyle{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {{x^2} - 16x + 29} = 3\sqrt 2 }$

$\displaystyle {\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 -({x^2} - 16x + 29)= 3\sqrt 2 (\sqrt {{x^2} - 4x + 5} - \sqrt {{x^2} - 16x + 29})}$

$\Leftrightarrow { \sqrt {{x^2} - 4x + 5} - \sqrt {{x^2} - 16x + 29}=\frac{4x-8}{\sqrt{2}}}$

Προσθέτουμε κατά μέλη την τελευταία και την αρχική και παίρνουμε

$\displaystyle{ \sqrt {{x^2} - 4x + 5} =\frac{2x-1}{\sqrt{2}}}$

περιορισμοί ή επαλήθευση κ.λπ., κ.λπ.: $\displaystyle{x=\frac{-4+\sqrt{88}}{4}=\frac{-2+\sqrt{22}}{2}}$

mathxl · #3

Εδώ έχουμε πλάκα και εγώ και ο Κώστας.
Από την μεριά μου έκανα τυπογραφικό..η εξίσωση είναι
$\displaystyle{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {{x^2} - 10x + 29} = 3\sqrt 2 .}$ .
Ο Κώστας έκανε ένα λαθάκι στις πράξεις που μπορεί να συμβεί σε όλους μας: έβαλε 2x-1

αντί για

μετά την απλοποίηση..του έστειλα μήνυμα αλλά απότι πληροφορήθηκα, πήγε διακοπές.

Αν θέλει ο επιμελητής του φακέλου, ας κρατήσει την σωστή εκφώνηση και ας διαγράψει τα παραπάνω μηνύματα. Η άσκηση με την σωστή εκφώνηση "τρέχει".

Καληνυχτώ!

#4

mathxl έγραψε: Από την μεριά μου έκανα τυπογραφικό..η εξίσωση είναι
$\displaystyle{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {{x^2} - 10x + 29} = 3\sqrt 2 .}$ .

Μια σύντομη λύση εκτός φακέλου:

Θεωρούμε τα διανύσματα $\displaystyle{\vec{a}=(x-2,1),\vec{b}=(5-x,2).}$

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{|\vec{a}|+|\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|.}$

Τότε, ως γνωστόν, πρέπει $\displaystyle{\vec{a},\vec{b}}$ να είναι ομόρροπα, άρα $\displaystyle{\det (\vec{a},\vec{b})=0\implies ...\implies x=3.}$

Η επαλήθευση είναι απλή.

#5

mathxl έγραψε: $\displaystyle{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {{x^2} - 10x + 29} = 3\sqrt 2 .}$ .

Μια προφανής λύση είναι η $\displaystyle{x=3}$ . Θέτοντας τώρα $\displaystyle{x-3=y}$ , δοσμένη εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{\sqrt{y^2 +2y+2}+\sqrt{y^2 -4y+8}=3\sqrt{2}\Rightarrow y^2 +2y+2+y^2 -4y+8+2\sqrt{y^2 +2y+2}\sqrt{y^2 -4y+8}=18}$

$\displaystyle{\Rightarrow \sqrt{y^2 +2y+2}\sqrt{y^2 -4y+8}=-y^2 +y+4\Rightarrow (y^2 +2y+2)(y^2 -4y+8)=(-y^2 +y+4)^2\Rightarrow}$

$\displaystyle{\Rightarrow 8y^2 =0\Rightarrow y=0}$

Συνεπώς η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η $\displaystyle{x=3}$

orestisgotsis · #6

ΠΕΡΙΤΤΑ

mathxl · #7

matha έγραψε:
mathxl έγραψε: Από την μεριά μου έκανα τυπογραφικό..η εξίσωση είναι
$\displaystyle{\sqrt {{x^2} - 4x + 5} + \sqrt {{x^2} - 10x + 29} = 3\sqrt 2 .}$ .
Μια σύντομη λύση εκτός φακέλου:

Θεωρούμε τα διανύσματα $\displaystyle{\vec{a}=(x-2,1),\vec{b}=(5-x,2).}$

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{|\vec{a}|+|\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|.}$

Τότε, ως γνωστόν, πρέπει $\displaystyle{\vec{a},\vec{b}}$ να είναι ομόρροπα, άρα $\displaystyle{\det (\vec{a},\vec{b})=0\implies ...\implies x=3.}$

Η επαλήθευση είναι απλή.

Καλημέρα. Αυτή ήταν η ιδέα κατασκευής και η λύση μπορεί να είναι εντός φακέλου ορίζοντας κατάλληλα σημεία και παίρνοντας τις απόστάσεις τους. Πάλι με τριγωνική και άτοπο.

Επίθεση στις άρρητες 10

Επίθεση στις άρρητες 10

Re: Επίθεση στις άρρητες 10

Re: Επίθεση στις άρρητες 10

Re: Επίθεση στις άρρητες 10

Re: Επίθεση στις άρρητες 10

Re: Επίθεση στις άρρητες 10

Re: Επίθεση στις άρρητες 10

Μέλη σε σύνδεση