Πολυωνυμο

Β.Λαζαρης · #1

Να βρεθεί το πολυώνυμο $P\left( x\right)$ αν $P\left( x\right) =P\left( \sigma \upsilon \nu x\right)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

kostas_zervos · #2

Β.Λαζαρης έγραψε:Να βρεθεί το πολυώνυμο P(x) αν P(x)=P(συνx) για κάθε x ανήκει R

Μια γρήγορη απάντηση εκτός ύλης.

Είναι $P(2k\pi)=P(1)$ για κάθε $k\in\mathbb{Z}$ , άρα το P(x)

λαμβάνει τη ίδια τιμή για άπειρες τιμές του

επομένως είναι σταθερό.

Άρα P(x)=c

.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Γράψε με Latex...

kostas_zervos · #3

Β.Λαζαρης έγραψε:Να βρεθεί το πολυώνυμο P(x) αν P(x)=P(συνx) για κάθε x ανήκει R

Και μία εντός ύλης...

Είναι $P(-x)=P(\cos(-x))=P(\cos x)=P(x)\;\;(1)$ .

Επίσης $P(x+\pi)=P(\cos(x+\pi))=P(-\cos x)\overset{(1)}{=}P(\cos x)=P(x)$ .

Άρα $P(x)=P(x+\pi)$ επομένως $P'(x)=P'(x+\pi)$ και με επαγωγή $f^{(m)}(x)=f^{(m)}(x+\pi)\;\;\;(2)$ για κάθε $x\in\matbb{R}\;,\;m\in\mathbb{N}^*$ .

Έστω ότι το πολυώνυμο το P(x)

δεν είναι σταθερό πολυώνυμο και έχει βαθμό n>0

, τότε $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1+a_0$ με $a_n\neq 0$

Τότε $f^{(n-1)}(x)=a_n\cdot n!x+a_{n-1}(n-1)!$ .

Άρα από την (2)

έχουμε $a_n\cdot n!(x+\pi)+a_{n-1}(n-1)!=a_n\cdot n!x+a_{n-1}(n-1)! \iff$
$\iff a_n\cdot n!\cdot \pi=0 \iff a_n=0$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα το P(x)

είναι σταθερό πολυώνυμο.

#4

Β.Λαζαρης έγραψε:Να βρεθεί το πολυώνυμο P(x) αν P(x)=P(συνx) για κάθε x ανήκει R

Από τη σχέση που δίνεται, η συνάρτηση P(x)

είναι περιοδική, κι ως πολυωνυμική θα είναι σταθερή.

(βλ. viewtopic.php?f=21&t=24905&p=125329&p125329, και viewtopic.php?f=5&t=234#p1094)

Φιλικά,

Αχιλλέας

Πολυωνυμο

Πολυωνυμο

Re: Πολυωνυμο

Re: Πολυωνυμο

Re: Πολυωνυμο

Μέλη σε σύνδεση