Π.Μ.Δ.Μ. 1971-72 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Αν $\displaystyle{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{\nu}}$ είναι πραγματικοί αριθμοί και ο $\displaystyle{\mu }$ είναι θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί η ανισότητα
$\displaystyle{|\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_{\nu}+\frac{\mu-(\alpha_{\color{red}1}\alpha_{\color{red}2}+\alpha_{\color{red}1}\alpha_{\color{red}3}+...+\alpha_{\nu-1}\alpha_{\nu})}{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_{\nu}}|>\left|\sqrt{\frac{2\mu}{\nu}+2\mu}\right|}$

2. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB<A\Gamma}$ .
Να βρεθεί σημείο $\displaystyle{\Delta}$ της $\displaystyle{AB}$ και σημείο $\displaystyle{E}$ της $\displaystyle{A\Gamma}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{B\Delta=\Delta E=E\Gamma}$

3. Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}}$ .
Να αποδειχτεί η ισότητα $\displaystyle{\tau o \xi _{o}\eta\mu \frac{\sqrt{(\nu+1)^2-1}-\sqrt{\nu^2-1}}{\nu(\nu+1)}=\tau o \xi _{o}\eta\mu \frac{1}{\nu}-\tau o \xi _{o}\eta\mu \frac{1}{\nu+1}}$
και με τη βοήθεια αυτής να βρεθεί το άθροισμα των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων της σειράς
$\displaystyle{\tau o \xi _{o}\eta\mu \frac{\sqrt{3}}{1\cdot 2}+\tau o \xi _{o}\eta\mu \frac{\sqrt{8}-\sqrt{3}}{2\cdot 3}++\tau o \xi _{o}\eta\mu \frac{\sqrt{15}-\sqrt{8}}{3\cdot 4} + ...}$
και στη συνέχεια να υπολογιστεί το όριο του αθροίσματος όταν $\displaystyle{\nu \to +\infty}$

edit's
μετονομασία τίτλου από 'θετική'' σε ''πρακτικό''
διόρθωση δεικτών στο 1ο, ήταν εκκρεμότητα

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB<A\Gamma}$ .
Να βρεθεί σημείο $\displaystyle{\Delta}$ της $\displaystyle{AB}$ και σημείο $\displaystyle{E}$ της $\displaystyle{A\Gamma}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{B\Delta=\Delta E=E\Gamma}$

εδώ

BAGGP93 · #3

parmenides51 έγραψε:

3. Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}}$ .
Να αποδειχτεί η ισότητα $\displaystyle{\tau o \xi _{o}\eta\mu \frac{\sqrt{(\nu+1)^2-1}-\sqrt{\nu^2-1}}{\nu(\nu+1)}=\tau o \xi _{o}\eta\mu \frac{1}{\nu}-\tau o \xi _{o}\eta\mu \frac{1}{\nu+1}}$
και με τη βοήθεια αυτής να βρεθεί το άθροισμα των $\displaystyle{\nu}$ πρώτων όρων της σειράς
$\displaystyle{\tau o \xi _{o}\eta\mu \frac{\sqrt{3}}{1\cdot 2}+\tau o \xi _{o}\eta\mu \frac{\sqrt{8}-\sqrt{3}}{2\cdot 3}++\tau o \xi _{o}\eta\mu \frac{\sqrt{15}-\sqrt{8}}{3\cdot 4} + ...}$
και στη συνέχεια να υπολογιστεί το όριο του αθροίσματος όταν $\displaystyle{\nu \to +\infty}$

Επιτρέψτε μου να χρησιμοποιήσω τον αγγλικό χαρακτήρα για το ημίτονο και το τόξο του.

Έστω $\displaystyle{\sin x=t\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\sin y=z}$ , όπου $\displaystyle{x\,,y\in\mathbb{R}\,\,\kappa \alpha \iota\,\,t\,,z\in\left[-1,1\right]}$

Τότε, $\displaystyle{x=\arcsin t\,\,\kappa \alpha \iota\,\,y=\arcsin z}$

Είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned} \sin\left(x-y\right)=\sin x\,\cos y-\sin y\,\cos x&\Rightarrow x-y=\arcsin\left(\sin x\,\cos y-\sin y\,\cos x\right)\\&\Rightarrow \arcsin t-\arcsin z=\arcsin\left(t\,\sqrt{1-\sin^2 y}-z\,\sqrt{1-\sin^2\,x}\right)\\&\Rightarrow \arcsin t-\arcsin z=\arcsin\left(t\,\sqrt{1-z^2}-z\,\sqrt{1-t^2}\right)\,\,(I)\end{aligned}}$

Με τη βοήθεια της παραπάνω σχέσης ,προκύπτει

$\displaystyle{\begin{aligned}\arcsin \frac{1}{\nu}-\arcsin \frac{1}{\nu+1}&=\arcsin\left[\frac{1}{\nu}\,\sqrt{1-\frac{1}{\left(\nu+1\right)^2}}-\frac{1}{\nu+1}\,\sqrt{1-\frac{1}{\nu^2}}\right]\\&=\arcsin\left(\frac{\sqrt{\left(\nu+1\right)^2-1}}{\nu\left(\nu+1\right)}-\frac{\nu^2-1}{\nu\left(\nu+1\right)}\right)\\&=\arcsin\left(\frac{\sqrt{\left(\nu+1\right)^2-1}-\sqrt{\nu^2-1}}{\nu\left(\nu+1\right)}\right)\end{aligned}}$

όπως θέλαμε.

$\displaystyle{\begin{aligned} S_{\nu}&=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{1\cdot 2}+\arcsin \frac{\sqrt{8}-\sqrt{3}}{2\cdot 3}+\arcsin \frac{\sqrt{15}-\sqrt{8}}{3\cdot 4}+...+\arcsin \frac{\sqrt{\left(\nu+1\right)^2-1}-\sqrt{\nu^2-1}}{\nu\left(\nu+1\right)}\\&=\left(\arcsin 1-\arcsin \frac{1}{2}\right)+\left(\arcsin \frac{1}{2}-\arcsin \frac{1}{3}\right)+\left(\arcsin \frac{1}{3}-\arcsin \frac{1}{4}\right)+...+\left(\arcsin \frac{1}{\nu}-\arcsin \frac{1}{\nu+1}\right)\\&=\arcsin 1-\arcsin \frac{1}{\nu+1}\\&=\frac{\pi}{4}-\arcsin \frac{1}{\nu+1}\end{aligned}}$

Τέλος,

$\displaystyle{\lim_{n\to +\infty}S_{\nu}=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{\pi}{4}-\arcsin \frac{1}{\nu+1}\right)=\frac{\pi}{4}-\arcsin 0=\frac{\pi}{4}}$

Χρησιμοποιήθηκε το $\displaystyle{\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\nu+1}=0}$ και η συνέχεια του τόξου του ημιτόνου.

parmenides51 · #4

ελέγχθηκε από έντυπο τεύχος η εκφώνηση στο 1ο , καλά την θυμόταν ο Ροδόλφος (Μπόρης) τελικά

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{\nu}}$ είναι πραγματικοί αριθμοί και ο $\displaystyle{\mu }$ είναι θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί η ανισότητα
$\displaystyle{|\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_{\nu}+\frac{\mu-(\alpha_{\color{red}1}\alpha_{\color{red}2}+\alpha_{\color{red}1}\alpha_{\color{red}3}+...+\alpha_{\nu-1}\alpha_{\nu})}{\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_{\nu}}|>\left|\sqrt{\frac{2\mu}{\nu}+2\mu}\right|}$

εδώ , εδώ κι εδώ

Π.Μ.Δ.Μ. 1971-72 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1971-72 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1971-72 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1971-72 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1971-72 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΑΚΤΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση