Ανισότητα με ολοκληρώματα

kostas_zervos · #1

Έστω οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c

με

.

Να αποδειχτεί ότι $\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1+cx^3}{x^3(2-x)}dx+\int_{b}^{c}\dfrac{1+ax^3}{x^3(2-x)}dx+\int_{a}^{c}\dfrac{1+bx^3}{x^3(2-x)}dx>\dfrac{32(c-a)}{27}$ .

bboybast · #2

(Μια προσπάθεια αναμένοντας λύση για αυτή viewtopic.php?f=56&t=38128).

Το πρώτο μέλος γράφεται:

$2\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\int_{a}^{b}{\frac{c}{2-x}}dx+\int_{b}^{c}{\frac{a}{2-x}}dx+\int_{a}^{c}{\frac{b}{2-x}}dx>2\int_{a}^{c}{f(x)dx}$ ,(τα τρία τελευταία ολοκληρώματα είναι θετικά).

όπου $f(x)=\frac{1}{x^3(2-x)}, x\in (0,2)$ .Mελετώντας την

ως προς τα ακρότατα βλέπουμε ότι

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 3/2

με

.Επομένως έχουμε $2f(x)\geq \frac{32}{27}$ και ολοκληρώνοντας $2\int_{a}^{c}{f(x)}dx>\frac{32}{27}(c-a)$

Ανισότητα με ολοκληρώματα

Ανισότητα με ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα με ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση