Τρεις εξισώσεις

Tolaso J Kos · #1

Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:
i) $(4+\sqrt{15})^x + (4-\sqrt{15})^x =62$ .
ii) $\left(\sqrt{15+2\sqrt{6}} \right)^x +\left(\sqrt{15-2\sqrt{6}} \right)^x =10$
iii) 1+a+a^2 +a^3 + ... +a^x =(1+a)(1+a^2)(1+a^4)(1+a^8)

όπου

και ο

είναι φυσικός πλην του μηδενός.

BAGGP93 · #2

Διαγραφή λόγω λάθους.

Βλέπε παρακάτω.

BAGGP93 · #3

Για $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned} \left(4+\sqrt{15}\right)^{x}+\left(4-\sqrt{15}\right)^{x}=62&\Leftrightarrow \left(4+\sqrt{15}\right)^{x}+\frac{1}{\left(4+\sqrt{15}\right)^{x}}=62\\&\Leftrightarrow \left[\left(4+\sqrt{15}\right)^{x}\right]^2-62\,\left(4+\sqrt{15}\right)^{x}+1=0\\&\Leftrightarrow \left[\left(4+\sqrt{15}\right)^{x}-31\right]^2=31^2-1\\&\Leftrightarrow \left(4+\sqrt{15}\right)^{x}-31=8\,\sqrt{15}\ \lor\,\,\left(4+\sqrt{15}\right)^{x}-31=-8\,\sqrt{15}\\&\Leftrightarrow \left(4+\sqrt{15}\right)^{x}=31+8\,\sqrt{15}\ \lor\,\,\left(4+\sqrt{15}\right)^{x}=31-8\,\sqrt{15}\\&\Leftrightarrow \left(4+\sqrt{15}\right)^{x}=\left(4+\sqrt{15}\right)^2\ \lor\,\,\left(4+\sqrt{15}\right)^{x}=\left(4+\sqrt{15}\right)^{-2}\\&\Leftrightarrow x=2\ \lor\,\,x=-2\end{aligned}}$

BAGGP93 · #4

Tolaso J Kos έγραψε:Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:

iii) όπου και ο είναι φυσικός πλην του μηδενός.

Λύση

Αν $\displaystyle{a=1}$ , τότε,

$\displaystyle{1+a+a^2+...+a^{x}=\left(1+a\right)\left(1+a^2\right)\left(1+a^4\right)\left(1+a^8\right)\Leftrightarrow x+1=16\Leftrightarrow x=15}$

Έστω τώρα $\displaystyle{a\in\left(0,1\right)\cup\left(1,+\infty\right)}$

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του αθροίσματος των $\displaystyle{k\,,k>1}$ πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου,

έχουμε για $\displaystyle{x\in\mathbb{N}}$ ότι,

$\displaystyle{1+a+a^2+a^3+...+a^{x}=\frac{a^{x+1}-1}{a-1}}$

Έστω $\displaystyle{x\in\mathbb{N}}$ λύση της δοσμένης εξίσωσης, οπότε,

$\displaystyle{\begin{aligned}\frac{a^{x+1}-1}{a-1}=\left(1+a\right)\left(1+a^2\right)\left(1+a^4\right)\left(1+a^8\right)&\Leftrightarrow a^{x+1}-1=\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\left(a^4+1\right)\left(a^8+1\right)\\&\Leftrightarrow a^{x+1}-1=\left(a^4-1\right)\left(a^4+1\right)\left(a^8+1\right)\\&\Leftrightarrow a^{x+1}-1=\left(a^8-1\right)\left(a^8+1\right)\\&\Leftrightarrow a^{x+1}-1=a^{16}-1\\&\Leftrightarrow a^{x+1}=a^{16}\\&\Leftrightarrow x+1=16\\&\Leftrightarrow x=15\end{aligned}}$

Σε κάθε περίπτωση, $\displaystyle{x=15}$

#5

Tolaso J Kos έγραψε:Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις:
i) $(4+\sqrt{15})^x + (4-\sqrt{15})^x =62$

...Ας δούμε και μία παραμετρική εκδοχή της προηγούμενης, αν μου επιτρέπει ο δημιουργός της δημοσίευσης...

Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{{\left( {4 + \sqrt {15} } \right)^x} + {\left( {4 - \sqrt {15} } \right)^x} + {k^2} = 2k + 1{\rm{ }}{\rm{, }}k \in R}$

#6

spyros έγραψε:...Ας δούμε και μία παραμετρική εκδοχή της προηγούμενης, αν μου επιτρέπει ο δημιουργός της δημοσίευσης...

Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{{\left( {4 + \sqrt {15} } \right)^x} + {\left( {4 - \sqrt {15} } \right)^x} + {k^2} = 2k + 1{\rm{ }}{\rm{, }}k \in R}$

Μία λύση για την άσκηση που προτείνεται από το φίλο Σπύρο.

Η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{{\left( {4 + \sqrt {15} } \right)^x} + {\left( {4 - \sqrt {15} } \right)^x} = - {k^2} + 2k + 1}$ .
Παρατηρούμε πως $\displaystyle{{\left( {4 + \sqrt {15} } \right)^x} + {\left( {4 - \sqrt {15} } \right)^x} = {\left( {4 + \sqrt {15} } \right)^x} + \frac{1}{{{{\left( {4 + \sqrt {15} } \right)}^x}}} \ge 2}$ με την ισότητα να ισχύει αν και μόνον αν x=0.

Επιπλέον το δεύτερο μέλος γίνεται:

$\displaystyle{ - {k^2} + 2k + 1 = - {\left( {k - 1} \right)^2} + 2 \le 2}$ για κάθε $k \in \mathbb{R}.$

Η ισότητα αληθεύει αν και μόνον αν k=1.

Επομένως αν $k \ne 1$ δεν έχω λύση για την εξίσωση, ενώ αν k=1

έχω για λύση την x=0.

Y.Γ Καλό καλοκαίρι για όλους! Θα τα πούμε μετά τις

Αυγούστου. Πηγαίνω σε μέρος όπου ναι μεν θα συνδέομαι (δύσκολο να μη συμβεί αυτό!) αλλά δε θα μπορώ να γράφω εύκολα.ΚΑΛΑ ΝΑ ΠΕΡΝΑΤΕ!!!!

Τρεις εξισώσεις

Τρεις εξισώσεις

Re: Τρεις εξισώσεις

Re: Τρεις εξισώσεις

Re: Τρεις εξισώσεις

Re: Τρεις εξισώσεις

Re: Τρεις εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση