Απλοποίηση

Tolaso J Kos · #1

Ας απλοποιηθεί ο αριθμός: $\displaystyle{E=\frac{1+2+3+4+...+499+500}{2+4+6+8+...+998+1000}}$

Giorgos S · #2

Tolaso J Kos έγραψε:Ας απλοποιηθεί ο αριθμός: $\displaystyle{E=\frac{1+2+3+4+...+499+500}{2+4+6+8+...+998+1000}}$

$\displaystyle E=\frac{1+2+3+4+...+499+500}{2+4+6+8+...+998+1000}=\frac{1+2+3+4+...+499+500}{1+1+2+2+3+3+4+4+...+499+499+500+500}=\frac{1+2+3+4+...+499+500}{2(1+2+3+4+...+499+500)}=\frac{1}{2}$

Tolaso J Kos · #3

Αυτή ήταν η λύση! Άλλος τρόπος να δουλέψουμε με ακολουθία , εκτός φακέλου και για αυτό δεν τον παραθέτω.

#4

Ενδιαφέρουσα λύση, αλλά και αυτή εκτός φακέλου είναι με χρήση ιδιοτήτων αναλογιών.

Ισχύει: $\displaystyle{\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\ldots=\frac{500}{1000}=\frac{1+2+\ldots+500}{2+4+\ldots+1000}}$ .

#5

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Ενδιαφέρουσα λύση, αλλά και αυτή εκτός φακέλου είναι με χρήση ιδιοτήτων αναλογιών.

Ισχύει: $\displaystyle{\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\ldots=\frac{500}{1000}=\frac{1+2+\ldots+500}{2+4+\ldots+1000}}$ .

Έξυπνη λύση Λευτέρη, και νομίζω ότι δεν είναι εκτός φακέλου, αφού την ιδιότητα αυτή των ααναλογιών την διδάσκουμε στην Α Γυμνασίου.

Tolaso J Kos · #6

Το σκέφτηκα αυτό, ναι μεν διδάσκονται οι αναλογίες στη Γ Γυμνασίου, αλλά μου φάνηκε λίγο τραβηγμένο. Βασικά όταν την πρωτοείδα το μυαλό μου πήγε ακολουθίες, αλλά μετά έψαξα να βρω άλλη λύση γιατί δεν υπάρχουν ακολουθίες στη Γ' Γυμνασίου.

Τόλης

parmenides51 · #7

Μια που πάει το μυαλό αλλά εκτός φακέλου (όμως κάτι μου θυμίζει)

Μπορεί να απλοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{A=\frac{1+2+3+4+...}{2+4+6+8+...}}$ ;

Δεν έχω απάντηση.

hlkampel · #8

Tolaso J Kos έγραψε:Ας απλοποιηθεί ο αριθμός: $\displaystyle{E=\frac{1+2+3+4+...+499+500}{2+4+6+8+...+998+1000}}$

Για να θυμηθούμε και τον Gauss

$\displaystyle\frac{{1 + 2 + 3 + 4 + \cdot \cdot \cdot + 500}}{{2 + 4 + 6 + 8 + \cdot \cdot \cdot + 998 + 1000}} = \frac{{\overbrace {501 + 501 + \cdot \cdot \cdot + 501}^{250\;\varphi o\rho \dot \varepsilon \varsigma }}}{{\underbrace {1002 + 1002 + \cdot \cdot \cdot 1002}_{250\;\varphi o\rho \dot \varepsilon \varsigma }}} =$

$\displaystyle\frac{{250 \cdot 501}}{{250 \cdot 1002}} = \frac{1}{2}$

Giorgos S · #9

Έστω

Είναι $C-B=(502+504+506+508+...+994+996+998+1000)-(2+4+6+8+...+494+496+498+500)=(502-2)+(504-4)+...+(1000-500)=500 \cdot 250=125000$

Επίσης $2A=2(1+3+5+7+...+493+495+497+499)=2[(1+499)+(3+497)+...+(249+251)]=2(500 \cdot 125)=125000$

Άρα $C-B=2A \Rightarrow 2B+2A=B+C \Rightarrow \frac{B+A}{B+C}=\frac{1}{2} \Rightarrow E=\frac{1}{2}$

Tolaso J Kos · #10

parmenides51 έγραψε:Μια που πάει το μυαλό αλλά εκτός φακέλου (όμως κάτι μου θυμίζει)

Μπορεί να απλοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{A=\frac{1+2+3+4+...}{2+4+6+8+...}}$ ;

Δεν έχω απάντηση.

Να κάνω μία απόπειρα απάντησης.
Πιστεύω πως το συγκεκριμένο άθροισμα δεν απλοποιείται, καθώς τόσο το πάνω όσο και το κάτω δεν είναι πεπερασμένα. Ουσιαστικά πρόκειται για το άθροισμα $\displaystyle{\sum_{i=1}^{+\infty }x_i}$ όπου $x_1=1, \, \, \, x_2 =2,$ κ.τ.λ που συμβολίζει το άθροισμα των πρώτων απείρων όρων "αριθμητικής προόδου". Όπως το βλέπω το άθροισμα δεν είναι πεπερασμένο, δηλαδή δεν συγκλίνει σε κάποιο $\kappa \in \mathbb{R}$ ώστε να λεχθεί ότι $\displaystyle{A=\frac{\sum_{i=1}^{+\infty }x_i}{2\sum_{i=1}^{+\infty }x_i}=\frac{\kappa }{2\kappa }=\frac{1}{2}}$ .

Αυτή είναι η ταπεινή μου γνώμη.
Φιλικά,
Τόλης

#11

parmenides51 έγραψε:Μια που πάει το μυαλό αλλά εκτός φακέλου (όμως κάτι μου θυμίζει)

Μπορεί να απλοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{A=\frac{1+2+3+4+...}{2+4+6+8+...}}$ ;

Δεν έχω απάντηση.

Αυτά τα αθροίσματα Parmenides, με άπειρους όρους, πολλές φορές έχουν μεγάλη "πλάκα".

Για παράδειγμα:

$\displaystyle{A=\frac{1+2+3+4 + . . .}{2+4+6+ . . . }\Rightarrow 2A=\frac{2+4+6+ . . . }{2+4+6+ . . . }\Rightarrow A=\frac{1}{2}}$

Aλλά για κοίτα και το άλλλο:

$\displaystyle{A=\frac{(2+4+6+. . . )+(1+3+5+ . . . )}{2+4+6+ . . . }=1+\frac{1+3+5+ . . . }{2+4+6+ . . . }>1>\frac{1}{2}}$

Με άλλα λόγια , δεν είναι δυνατόν να προσδιοριστεί το $\displaystyle{A}$ .

Tolaso J Kos · #12

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: Αυτά τα αθροίσματα Parmenides, με άπειρους όρους, πολλές φορές έχουν μεγάλη "πλάκα".
Για παράδειγμα:
$\displaystyle{A=\frac{1+2+3+4 + . . .}{2+4+6+ . . . }\Rightarrow 2A=\frac{2+4+6+ . . . }{2+4+6+ . . . }\Rightarrow A=\frac{1}{2}}$

Γιατί το συγκεκριμένο απλοποιείται; Δεν μπορώ να το καταλάβω;

#13

parmenides51 έγραψε:Μια που πάει το μυαλό αλλά εκτός φακέλου (όμως κάτι μου θυμίζει)

Μπορεί να απλοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{A=\frac{1+2+3+4+...}{2+4+6+8+...}}$ ;

Δεν έχω απάντηση.

Η σύντομη απάντηση είναι: Όχι!

Ο λόγος: Ο αριθμητής κι ο παρονομαστής δεν είναι αριθμός (ή καλύτερα, τα (άπειρα) αθροίσματα αυτά δε συγκλίνουν).

Είναι σαν να λέμε αν απλοποιείται το $\dfrac{+\infty}{+\infty}$ ή το $\dfrac{2\cdot (+\infty)}{+\infty}$ .

Συνεπώς, η παραπάνω παράσταση δεν ορίζεται καν.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#14

Tolaso J Kos έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: Αυτά τα αθροίσματα Parmenides, με άπειρους όρους, πολλές φορές έχουν μεγάλη "πλάκα".
Για παράδειγμα:
$\displaystyle{A=\frac{1+2+3+4 + . . .}{2+4+6+ . . . }\Rightarrow 2A=\frac{2+4+6+ . . . }{2+4+6+ . . . }\Rightarrow A=\frac{1}{2}}$
Γιατί το συγκεκριμένο απλοποιείται; Δεν μπορώ να το καταλάβω;

Για αυτό έγραψα ότι έχουν "πλάκα¨ τα αθροίσματα με άπειρους όρους , μερικές φορές.
Αν δηλαδή γίνονταν οι πράξεις όπως στους πεπερασμένους, τότε θα είχαμε τα παράδοξα που έγραψα παραπάνω.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #15

Tolaso J Kos έγραψε:Ας απλοποιηθεί ο αριθμός: $\displaystyle{E=\frac{1+2+3+4+...+499+500}{2+4+6+8+...+998+1000}}$

Γεια σας κύριε Αποστόλη!

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τον κλασσικό τύπο: $\dfrac{n(n+1)}{2}$

Δηλαδή:

$\displaystyle{E=\frac{1+2+3+4+...+499+500}{2+4+6+8+...+998+1000}}=\dfrac{\dfrac{500(500+1)}{2}}{\dfrac{1000(1000+2)}{4}} \Rightarrow \boxed{A=\dfrac{1}{2}}$

Απλοποίηση

Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Re: Απλοποίηση

Μέλη σε σύνδεση