IMC 2013/2/1

Eukleidis · #1

Έστω μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{z}$ με $\displaystyle{\left| {z + 1} \right| > 2}$ . Να δείξετε ότι $\displaystyle{\left| {{z^3} + 1} \right| > 1}$ .

Nick1990 · #2

Απογοητευτικός ο φετινός IMC για όλα τα μέλη των Ελληνικών ομάδων. Δύσκολα θέματα με παγίδες που σε αποπροσανατόλιζαν και έχανες έτσι εύκολα μονάδες.

Η λύση μου στο θέμα αυτό χρησιμοποιεί στοιχειώδη μιγαδική ανάλυση, και δυστυχώς δε βλέπω πως μπορούμε να την αποφύγουμε χωρίς να μπλέξουμε με υπερβολικά πολλές πράξεις.

Συνοπτικά:

1ο βήμα: Επειδή η συνάρτηση προς ελαχιστοποίηση είναι πολυώνυμο, έξω από κάποιο πολύ μεγάλο δίσκο με κέντρο το -1 θα έχει σίγουρα τιμές μεγαλύτερες από αυτές που έχει στον κύκλο αυτό αλλά με ακτίνα 2. Επιπλέον, εκτός του δίσκου αυτού θα έχει μεγαλύτερες τιμές από 1 και αρκεί να λυθεί το πρόβλημα εντός αυτού. Επίσης οι ρίζες του είναι ρίζες της μονάδας επί -1 και εύκολα μπορούμε να δούμε ότι δεν ανήκουν στον κλειστό δακτύλιο που ορίζουν οι παραπάνω δύο κύκλοι. Άρα ως ολόμορφη μη σταθερή συνάρτηση που δεν μηδενίζεται στον κλειστό δίσκο, θα έχει ελάχιστο αυστηρά στο σύνορο και λόγο των παραπάνω αυτό θα είναι στον μικρό κύκλο, οπότε αν αυτό είναι τουλάχιστον 1 έχουμε τελειώσει.

2ο βήμα: θέτουμε $z+1 = u + \frac{3}{2}$ και με παραγοντοποίηση και χρήση του $|u + \frac{3}{2}| = 2$ και μια απλή συπμλήρωση τετραγώνου, αναγώμαστε στο: $|u^2 + \frac{3}{4}| \geq \frac{1}{2}$ κάτω από την παραπάνω συνθήκη.

3ο βήμα: υψώνουμε στο τετράγωνο συνθήκη και ανισότητα προς απόδειξη, θέτουμε u = x + yi

και μετά από αντικατάσταση του y^2

από τη συνθήκη, λίγες πράξεις και απλοποιήσεις, προκείπτει $(2x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$ που ισχύει.

Edit: διορθώθηκε τυπογραφικό

kostas_zervos · #3

Eukleidis έγραψε:Έστω μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{z}$ με $\displaystyle{\left| {z + 1} \right| > 2}$ . Να δείξετε ότι $\displaystyle{\left| {{z^3} + 1} \right| > 1}$ .

Μια λύση στην ύλη Λυκείου.

: ask1.JPG (4.68 KiB) Προβλήθηκε 1110 φορές

Είναι $\left|z^3+1\right|=|z+1|\left|z^2-z+1\right|$ και επειδή |z+1|>2

, αρκεί

$\left|z^2-z+1\right|>\dfrac{1}{2}\iff \left|z-\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}}\right|\left|z-\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}}\right|>\dfrac{1}{2}$ .

Αφού |z+1|>2

, η εικόνα

του

βρίσκεται εξωτερικά του C_1:(x+1)^2+y^2=4

.

Οι εικόνες A,B

των $\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$ είναι σημεία του κύκλου C_2:x^2+y^2=1

.

Οι δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά στο C(1,0)

Άρα αρκεί να δείξουμε ότι $(MA)\cdot (MB)>\dfrac{1}{2}$ .

: ask2.JPG (4.02 KiB) Προβλήθηκε 1110 φορές

Έστω

οποιοδήποτε σημείο εξωτερικά του κύκλου (C_1)

και η

τέμνει τον κύκλο στο

ώστε το

είναι εσωτερικό του

.

Αν $A\widehat{D}B\leq \dfrac{\pi}{2}$ , τότε $B\widehat{D}M\geq \dfrac{\pi}{2}>D\widehat{M}B$ .

Άρα MB>DB

και αφού

, θα έχουμε (MA)(MB)>(DA)(DB)

, άρα όταν το Μ κινείται εξωτερικά του C_1

ή στον κύκλο (C_1)

, το

παίρνει την ελάχιστη τιμή του (αν έχει) όταν το

ανήκει στον κύκλο.

Αν $A\widehat{D}B> \dfrac{\pi}{2}$ και D(a,b)

, τότε $D\in C_1\iff a^2+b^2=3-2a\;(1)$ .

$A\widehat{D}B> \dfrac{\pi}{2}\iff \overset{\to}{MA}\cdot \overset{\to}{MB}<0 \iff$

$\iff \cdots\iff a^2+b^2-a-\dfrac{1}{2}<0\overset{(1)}{\iff}\cdots\iff a>\dfrac{5}{6}$ .

Αν M(x,y)

σημείο που βρίσκεται είτε στον κύκλο C_1

είτε στο εξωτερικό του τότε έχουμε $(MA)\codt(MB)=\cdots=\sqrt{(x^2+y^2-x+1)^2-3y^2}$ .

$\bullet$ Αν $A\widehat{D}B\leq \dfrac{\pi}{2}$ τότε το $(MA)\cdot (MB)$ παίρνει ελάχιστη τιμή όταν $M\in (C_1)$ , άρα θα ισχύει $x^2+y^2+2x=3\iff y^2=3-x^2-2x$ .

Άρα $(MA)\codt(MB)=\cdots=\sqrt{12x^2-18x+7}$ που γίνεται ελάχιστο όταν $x=\dfrac{3}{4}$ και η ελάχιστη τιμή του είναι $\sqrt{12\left(\dfrac{3}{4}\right)^2-18\dfrac{3}{4}+7}=\dfrac{1}{2}$ .

Άρα αν το

είναι εξωτερικά του κύκλου , θα ισχύει $MA)\codt(MB)>\dfrac{1}{2}$ .
$\bullet$ Αν $A\widehat{D}B> \dfrac{\pi}{2}$ τότε $a>\dfrac{5}{6}$ και αφού το

είναι εσωτερικό του

θα είναι $x>\dfrac{5}{6}$ .

Η g(x)=x^2-x+1

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ , άρα για $x>\dfrac{5}{6}$ έχουμε $g(x)>g\left(\dfrac{5}{6}\right) \iff x^2-x+1>\dfrac{31}{36}$ .

Έτσι $x^2-x+1+y^2>y^2+\dfrac{31}{36}\Rightarrow$
$\Rightarrow (MA)(MB)=\sqrt{(x^2+y^2-x+1)^2-3y^2}>\sqrt{\left(y^2+\dfrac{31}{36}\right)^2-3y^2}$ .

Άρα αρκεί να δείξουμε ότι $\sqrt{\left(y^2+\dfrac{31}{36}\right)^2-3y^2}>\dfrac{1}{2}\iff \cdots \iff \left(y^2-\dfrac{23}{36}\right)^2+\dfrac{108}{36^2}>0$ που ισχύει.

Επομένως σε κάθε περίπτωση έχουμε $(MA)(MB)>\dfrac{1}{2}\iff |z^2-z+1|>\dfrac{1}{2}$ και αφού |z+1|>2

θα έχουμε

.

parmenides51 · #4

Ωραία λύση Κώστα

#5

Eukleidis έγραψε:Έστω μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{z}$ με $\displaystyle{\left| {z + 1} \right| > 2}$ . Να δείξετε ότι $\displaystyle{\left| {{z^3} + 1} \right| > 1}$ .

Με δεδομένο ότι $\displaystyle{\left| {z + 1} \right| > 2}$ , προκύπτει ότι ο μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{z}$ , βρίσκεται στον τόπο $\displaystyle{D}$ , που είναι το εξωτερικό του κύκλου κέντρου $\displaystyle{K\left( { - 1,0} \right)}$

και ακτίνας $\displaystyle{r=2}$ . Όπως επισημάνθηκε παραπάνω, αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\left| {{z^2} - z + 1} \right| > \frac{1}{2}}$ . Η μιγαδική συνάρτηση $\displaystyle{f\left( z \right) = {z^2} - z + 1}$

είναι πολυώνυμο με τις ρίζες του εντός του παραπάνω κύκλου, συνεπώς η ποσότητα $\displaystyle{\left| {f\left( z \right)} \right|}$ παίρνει την ελάχιστη τιμή της επί του συνόρου του $\displaystyle{D}$

(αρχή ελάχιστου μέτρου επί του συνόρου). Επί του συνόρου του $\displaystyle{D}$ έχουμε $\displaystyle{z = - 1 + 2{e^{i\theta }}}$ , οπότε $\displaystyle{f\left( z \right) = .. = 3 + 4{e^{2i\theta }} - 6{e^{i\theta }}}$

και $\displaystyle{g\left( {\cos \theta } \right) = f\left( z \right) \cdot \overline {f\left( z \right)} = \left( {3 + 4{e^{2i\theta }} - 6{e^{i\theta }}} \right)\left( {3 + 4{e^{ - 2i\theta }} - 6{e^{ - i\theta }}} \right) = .. = 61 + 24\cos 2\theta - 84\cos \theta = 48{\cos ^2}\theta - 84\cos \theta + 37}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{g\left( {\cos \theta } \right)}$ γίνεται ελάχιστη για $\displaystyle{\cos \theta = \frac{7}{8}}$ και $\displaystyle{g\left( {\frac{7}{8}} \right) = \frac{1}{4}}$ . Επομένως $\displaystyle{\left| {f\left( z \right)} \right|_{\min }^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow \left| {f\left( z \right)} \right|_{\min }^{} = \frac{1}{2} \Rightarrow \forall z \in D:\left| {{z^2} - z + 1} \right| > \frac{1}{2}}$ .

Η ελάχιστη τιμή της ποσότητας $\displaystyle{\left| {{z^3} + 1} \right|}$ που είναι ίση με $\displaystyle{1}$ , επί του συνόρου του $\displaystyle{D}$ , επιτυγχάνεται για δύο τιμές : $\displaystyle{z = \frac{{3 \pm i\sqrt {15} }}{4}}$ .

IMC 2013/2/1

IMC 2013/2/1

Re: IMC 2013/2/1

Re: IMC 2013/2/1

Re: IMC 2013/2/1

Re: IMC 2013/2/1

Μέλη σε σύνδεση