Καλοκαιρινή συναρτησιακή 9

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

Επαναφορά! Δεν είναι δύσκολη!

kostas_zervos · #3

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x)f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Για

έχουμε

.

Αν $f(0)\neq 0$ , τότε για κάθε $x\neq 0$ έχουμε f(x)=1

.

Τελικά $f(x)=\begin{cases}1\;,\;x\neq 0\\ a\;,\;x=0\end{cases}$ όπου $a\neq 0$ (επαληθεύει).

Αν f(0)=0

.

Για

έχουμε

ή

.

Αν

, τότε για y=1

έχουμε $xf(1)+f(x)=(x+1)f(x)f(1)\iff f(x)=0$ για κάθε $x\in\Bbb{R}$ .

Αν f(1)=1

, τότε για y=1

έχουμε $xf(1)+f(x)=(x+1)f(x)f(1)\iff x+f(x)=(x+1)f(x) \iff xf(x)=x$ , οπότε για κάθε $x\neq 0$ έχουμε f(x)=1

, άρα

$f(x)=\begin{cases}1\;,\;x\neq 0\\ 0\;,\;x=0\end{cases}$ (επαληθεύει).

Επομένως f(x)=0

ή $f(x)=\begin{cases}1\;,\;x\neq 0\\ a\;,\;x=0\end{cases}\;,\;a\in\Bbb{R}$ .

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 9

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 9

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 9

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 9

Μέλη σε σύνδεση