IMC 2013/1/5

Eukleidis · #1

Υπάρχει μιγαδική ακολουθία $\displaystyle{\left( {{a_n}} \right)}$ τέτοια ώστε για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό $\displaystyle{p}$ η σειρά $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {a_n^p} }$ συγκλίνει αν και μόνο αν ο $\displaystyle{p}$ δεν είναι πρώτος;

#2

Ίσως κάποιες ιδέες από εδώ να δουλεύουν;

Alex1994 · #3

Η κατασκευή που βρήκα στον διαγωνισμό:

Αρχικά απαριθμούμε τους πρώτους p_1=2, p_2=3, ...

και μετά απαριθμούμε τα ζευγάρια (p_m, n)

ως εξής: πρώτα επιλέγουμε το (p_1, 1)

και μετά επιλέγουμε ένα ζεύγος (p_m, n)

που δεν έχει επιλεχθεί ώστε m+n

ελάχιστο.
Τώρα, κατασκευάζουμε blocks από όρους της μορφής $(\frac{\omega_{p}^m}{n^{1/p}p^2}), m=0, 1, 2, ..., p-1$ . Τότε, παρατηρούμε ότι αν gcd(k,p)=1

τότε το άθροισμα των

δυνάμεων κάθε block (p,n)

είναι

, και αν

είναι $\frac{1}{n^{k/p} p^{2k-1}}$ .
Τώρα, παρατηρούμε ότι το άθροισμα των k-δυνάμεων για τα blocks είναι θετικό και λιγότερο από $l*\zeta (2)$ αν ο

δεν είναι πρώτος και έχει

πρώτους διαιρέτες (διοτι $k/p \geq 2$ ), και αν ο

είναι πρώτος αποκλείνουν στο άπειρο διότι η αρμονική σειρά αποκλίνει.
Μένει να δείξουμε ότι τα ενδιάμεσα μερικά αθροίσματα δεν διαφέρουν πολύ από τα μερικά block sums. Εύκολα βλέπουμε ότι η διαφορά ενός μερικού αθροίσματος από το αμέσως προηγούμενο block sum με τελευταίο block (p,n)

είναι $\frac{1}{n^{k/p} p^{2k-1}}$ , οπότε καθώς πάμε στο άπειρο είτε ο

ή ο $n^{1/p}$ θα είναι πολύ μεγάλοι, οπότε το σφάλμα τείνει στο μηδέν.
Άρα η σειρά συγκλίνει καθώς τα μερικά αθροίσματα σχηματίζουν ακολουθία Cauchy όταν τα block sums συγκλίνουν, οπότε η δωσμένη σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν

δεν είναι πρώτος.

IMC 2013/1/5

IMC 2013/1/5

Re: IMC 2013/1/5

Re: IMC 2013/1/5

Μέλη σε σύνδεση