Καλοκαιρινή συναρτησιακή 19

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y^2)=f(x)+|yf(y)| , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

kostas_zervos · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+y^2)=f(x)+|yf(y)| , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Για

έχουμε

.

Για

έχουμε

.

Άρα $f(y)^2+f(-y^2)=2f(0)\;,\;\forall y\in\Bbb{R}$ , επομένως για $y=\sqrt{x}\;,\;x\geq 0$ έχουμε

f(x)+f(-x)=2f(0)

. Για $x<0\Rightarrow -x>0$ , άρα $f(-x)+f(-(-x))=2f(0)\iff f(x)+f(-x)=2f(0)\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

Για x=-y

στην

έχουμε

, άρα $|xf(x)=|xf(-x)|\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ και

για $x\neq 0$ έχουμε |f(x)|=|f(-x)|

που ισχύει και για x=0

, άρα $|f(x)|=|f(-x)|\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

$\bullet$ Αν υπάρχει $x_0\in\Bbb{R}$ με f(-x_0)=-f(x_0)

, τότε η

δίνει $f(x_0)+f(-x_0)=2f(0)\iff f(0)=0$ και επομένως $f(-x)=-f(x)\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

Επίσης η f(y^2)=f(0)+|yf(y)|

γίνεται

, άρα για $x\geq 0$ έχουμε $f(x)\geq 0$ και για $x<0\Rightarrow -x>0\Rightarrow f(-x)\geq 0\Rightarrow -f(x)\geq 0\Rightarrow f(x)\leq 0$ .

Επομένως $xf(x)\geq 0\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ και έτσι $f(x^2)=xf(x)\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

Επίσης για $y\to\sqrt{y}\geq 0$ στην αρχική έχουμε $f(x+y)=f(x)+\sqrt{y}f(\sqrt{y})=f(x)+f(y)$ από την

.

Για $x\geq 0\;,\;y\geq 0$ έχουμε $f((x+y)^2)=(x+y)f(x+y) \iff$

$\iff f(x^2+2xy+y^2)=(x+y)(f(x)+f(y)) \iff$

$\iff f(x^2+y^2)+f(2xy)=xf(x)+xf(y)+yf(x)+yf(y) \iff$

$\iff f(x^2)+f(y^2)+2f(xy)=xf(x)+xf(y)+yf(x)+yf(y)\iff$

$\iff xf(x)+yf(y)+2f(xy)=xf(x)+xf(y)+yf(x)+yf(y)\iff$

$\iff 2f(xy)=xf(y)+yf(x)$

και για y=1

έχουμε $2f(x)=f(1)x+f(x)\iff f(x)=f(1)x\;,\;\forall x\geq 0$ .

Για $x<0\Rightarrow -x>0\Rightarrow f(-x)=f(1)(-x)\iff$

$\iff -f(x)=-f(x)x\iff f(x)=f(1)x$ .

Άρα $f(x)=f(1)x\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ (που επαληθεύει).

$\bullet$ Αν $f(x)=f(-x)\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ , τότε $2f(x)=2f(0) \iff f(x)=f(0)$ και αντικαθιστώντας στην αρχική έχουμε :

$f(0)=f(0)+|yf(0)| \iff |y||f(0)|=0\;,\;\forall y\in\Bbb{R}$ , άρα f(0)=0

και $f(x)=0\;,\;\forall x\in\Bbb{R}$ .

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=550607

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 19

Καλοκαιρινή συναρτησιακή 19

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 19

Re: Καλοκαιρινή συναρτησιακή 19

Μέλη σε σύνδεση