Σύνολα σημείων (1)

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε:Δίνονται τα σταθερά και μη συνευθειακά σημεία $\displaystyle{A,B,C}$ .

Καλούμε $\displaystyle{{{E}_{1}}}$ το σύνολο που διαγράφουν τα επίπεδα $\displaystyle{p}$ του χώρου με την ιδιότητα:

Η προβολή $\displaystyle{{A}'{B}'{C}'}$ του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ πάνω στο $\displaystyle{p}$ έχει σταθερό εμβαδόν.

Να μελετηθεί το $\displaystyle{{{E}_{1}}}$ .

Λύση:
Έστω $\displaystyle{(p_1)}$ το σταθερό επίπεδο στο οποίο ανήκουν τα σταθερά και μη συνευθειακά σημεία $\displaystyle{A,B,C}$ , όπως αυτά φαίνονται στο
συνημμένο σχήμα.

: Σταθερο εμβαδόν 1.PNG (164.65 KiB) Προβλήθηκε 229 φορές

Έστω ακόμα ένα επίπεδο $\displaystyle{(p)}$ στο οποίο προβάλλεται το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ κατά το τρίγωνο $\displaystyle{A'B'C'}$ με σταθερό εμβαδόν έστω $\displaystyle{c}$ .
Τότε θα είναι:

$\displaystyle{E(A'B'C')=E(ABC) \cdot cosa,\ \ a=\hat{KMO} \ \ (1)}$

Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι η γωνία $\displaystyle{a}$ που σχηματίζουν τα επίπεδα $\displaystyle{p, p_1}$ είναι γνωστή δεδομένου ότι το σταθερό εμβαδόν του $\displaystyle{A'B'C'}$ μας είναι γνωστό.
Επομένως το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{(OMK)}$ παραμένει πάντα όμοιο με τον εαυτό του, δεδομένου ότι η μία οξεία γωνία του μας είναι γνωστή και σταθερή.

Αν τώρα θεωρήσουμε μια ορθή κωνική επιφάνεια με οδηγό τον κύκλο $\displaystyle{(C)}$ (κίτρινος κύκλος)τότε το επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή $\displaystyle{K}$ και εφάπτεται
σ' αυτήν είναι ένα από τα ζητούμενα επίπεδα $\displaystyle{(p)}$ .

Εύκολα τώρα προκύπτει ότι όλα τα εφαπτόμενα επίπεδα στην κωνική αυτή επιφάνεια που διέρχονται από την κορυφή της $\displaystyle{K}$ είναι θέσεις των επιπέδων $\displaystyle{p}$ που ζητούμε.

Επομένως το σύνολο $\displaystyle{(E_1)}$ των επιπέδων αυτών $\displaystyle{p}$ είναι τα εφαπτόμενα αυτά επίπεδα καθώς και όλα τα παράλληλα προς αυτά.

Κώστας Δόρτσιος

#3

Συμπληρώνω την προηγούμενη απάντηση αναφέροντας και τις διάφορες περιπτώσεις
που μπορεί να εμφανιστούν στο πρόβλημα αυτό.
Αυτό γίνεται ύστερα από προσωπικό μήνυμα του συναδέλφου Ορέστη για το οποίο και τον ευχαριστώ.

1η) Η περίπτωση του προηγούμενου μηνύματος ισχύει όταν η γωνία $\displaystyle{a}$ για την οποία ισχύει:

$\displaystyle cosa=\frac{(A'B'C')}{(ABC)}$

είναι οξεία.

Αυτό βέβαια ισχύει όταν $\displaystyle{(A'B'C')< (ABC)}$

2η) Αν $\displaystyle{(A'B'C')=0}$ τότε $\displaystyle{a=\frac{\pi}{2}}$ και τότε το ζητούμενο σύνολο είναι όλα τα επίπεδα $\displaystyle{p}$ που
είναι κάθετα στο επίπεδο $\displaystyle{p_1}$ .

: Σταθερό εμβαδόν 2.PNG (64.6 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές

3η) Αν $\displaystyle{(A'B'C')=(ABC)}$ τότε $\displaystyle{a=0}$ και τότε το σύνολο των επιπέδων $\displaystyle{p}$ είναι όλα τα παράλληλα επίπεδα προς το $\displaystyle{p_1}$ .

: Σταθερό εμβαδόν 3.PNG (119.5 KiB) Προβλήθηκε 192 φορές

4η) Αν $\displaystyle{(A'B'C')>(ABC)}$ τότε δεν υπάρχει τέτοιο επίπεδο και συνεπώς το ζητούμενο σύνολο είναι το κενό.

Κώστας Δόρτσιος

Σύνολα σημείων (1)

Σύνολα σημείων (1)

Re: Σύνολα σημείων (1)

Re: Σύνολα σημείων (1)

Μέλη σε σύνδεση