Ισοδυναμία

#1

Έστω $f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}.$ Να δείξετε ότι

$\displaystyle{ 2x+f(y)=f(2f(x)+y), \ \forall x,y\in \Bbb{R} \ \iff \ f(x+y)=f(x)+f(y), \ \forall x,y\in \Bbb{R} \ \wedge \ f(f(x))=x, \ \forall x\in \Bbb{R}.}$

BAGGP93 · #2

Καλησπέρα.

Υποθέτουμε ότι για κάθε $\displaystyle{x\,,y\in\mathbb{R}}$ ισχύουν οι σχέσεις $\displaystyle{f(x+y)=f(x)+f(y)\,\,\kappa \alpha \iota\,\,f(f(x))=x}$ .

Για τυχόντα $\displaystyle{x\,,y\in\mathbb{R}}$ έχουμε

$\displaystyle{f\left(2\,f(x)+y\right)=f\left(f(x)+\left(f(x)+y\right))=f(f(x))+f(f(x)+y)=x+f(f(x))+f(y)=2\,x+f(y)}$ .

Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι $\displaystyle{2\,x+f(y)=f(2\,f(x)+y)\,,x\,,y\in\mathbb{R}\,\,(I)}$ .

Για $\displaystyle{y=0}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(2\,f(x))=2\,x+f(0)\,,x\in\mathbb{R}\,\,(II)}$ .

Έστω $\displaystyle{a\,,b\in\mathbb{R}}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{f(a)=f(b)}$ . Τότε,

$\displaystyle{f(a)=f(b)\Rightarrow 2\,f(a)=2\,f(b)\Rightarrow f(2\,f(a))=f(2\,f(b))\stackrel{(II)}{\Rightarrow} 2\,a+f(0)=2\,b+f(0)\Rightarrow a=b}$ .

Επομένως, η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι 1-1.

Από την σχέση $\displaystyle{(I)}$ , για $\displaystyle{x=0}$ έχουμε $\displaystyle{f(2\,f(0))=f(0)\Leftrightarrow 2\,f(0)=0\Leftrightarrow f(0)=0}$ , άρα

$\displaystyle{f(2\,f(x))=2\,x\,,x\in\mathbb{R}}$ .

Από την τελευταία σχέση, για $\displaystyle{x=\frac{f(x)}{2}}$ έχουμε

$\displaystyle{f\left(2\,f\left(\frac{f(x)}{2}\right)\right)=f(x)\Leftrightarrow f\left(\frac{f(x)}{2}\right)=\frac{x}{2}\,,x\in\mathbb{R}}$ .

Συνεπώς, η σχέση $\displaystyle{(I)}$ για $\displaystyle{x=\frac{f(x)}{2}}$ δίνει

$\displaystyle{f(x)+f(y)=f\left(2\,f\left(\frac{f(x)}{2}\right)+y\right)\Leftrightarrow f(x)+f(y)=f(x+y)\,,x\,,y\in\mathbb{R}}$ .

Τέλος, θέτοντας στην παραπάνω σχέση $\displaystyle{x=f(x)}$ έχουμε $\displaystyle{f(f(x))+f(y)=f(f(x)+y)\,,x\,,y\in\mathbb{R}}$

και θέτοντας $\displaystyle{y=f(x)}$ λαμβάνουμε

$\displaystyle{2\,f(f(x))=f(2\,f(x))\Leftrightarrow 2\,f(f(x))=2\,x\Leftrightarrow f(f(x))=x\,,x\in\mathbb{R}}$

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=452636

#4

Να δούμε και το αδερφάκι;

Έστω $f:\Bbb{R}^+\to\Bbb{R}^+.$ Να δείξετε ότι

$\displaystyle{ 2x+f(y)=f(2f(x)+y), \ \forall x,y\in \Bbb{R}^+ \ \iff \ f(x)=x, \ \forall x\in \Bbb{R}^+.}$

Ισοδυναμία

Ισοδυναμία

Re: Ισοδυναμία

Re: Ισοδυναμία

Re: Ισοδυναμία

Μέλη σε σύνδεση