το κατάλληλο σύστημα

#21

Αν δέχεσαι ότι το

είναι συμμετρικό και ότι το $x \neq y$ σημαίνει $\neg x = y$ τότε ναι.

labrosb · #22

Demetres έγραψε:Αν δέχεσαι ότι το είναι συμμετρικό και ότι το $x \neq y$ σημαίνει $\neg x = y$ τότε ναι.

Δηλαδή αν δεν έχουμε συμμετρικότητα δεν έχουμε απόδειξη ;

Γιατί;

labrosb · #23

Demetres έγραψε:Αν δέχεσαι ότι το είναι συμμετρικό και ότι το $x \neq y$ σημαίνει $\neg x = y$ τότε ναι.

Στην απόδειξη που ακολουθεί δεν βλέπω που χρησιμοποιείται η συμμετρικότητα της ισότητος.
1) $0<1 \vee 1<0 \vee 1=0$ ...............................................αξίωμα 11. $A<B \vee B <A \vee A = B$

2) $0<1 \vee 1<0$ ..........................................................αξίωμα 10.

3) 1<0

....................................................................υπόθεση.

4) 1+ (-1) < 0 + (-1)

...................................................αξίωμα 14. $A<B \Longrightarrow A+C<B+C$

5) 0 < 0 + (-1)

........................................................ αξίωμα 7. A+(-A)=0

6)

........................................................ αξίωμα 3. A+B=B+A

7)

.............................................................. αξίωμα 6. A+0=A

8)

.................................................. αξίωμα 13. $(0<C \wedge A < B) \Longrightarrow A.C < B.C$

9) -1 <0.(-1)

.........................................................αξίωμα 8. 1.A = A

10)

........................................αξίωμα 14. $A<B \Longrightarrow A+C<B+C$

11) (-1) + (-1) < 0.(-1) + 1.(-1)

.....................................αξίωμα 8. 1.A=A

12)

......................................αξίωμα 4. A.B=B.A

13)

...................................... αξίωμα 3. A+B=B+A

14)

............................................ αξίωμα 5. A.(B+C)=A.B + A.C

15)

................................................ αξίωμα 6. A+0=A

16)

................................................ αξίωμα 4. A.B=B.A

17)

..................................................... αξίωμα 8. 1.A=A

18)

........................................ αξίωμα 14. $A<B \Longrightarrow A+C<B+C$

19) 1 + [(-1) + (-1)] < 1 + (-1)

........................................ αξίωμα 3. A+B=B+A

20)

......................................... αξίωμα 1. A+(B+C)=(A+B)+C

21)

......................................................... αξίωμα 7. A+(-A)=0

22)

.......................................................... αξίωμα 3. A+B=B+A

23)

................................................................ αξίωμα 6. A+0=A

24)

..................................................... αξίωμα 14. $A<B \Longrightarrow A+C<B+C$

25) 1 + (-1) < 1 + 0

..................................................... αξίωμα 3.. A+B=B+A

26)

............................................................. αξίωμα 7.. A+(-A)=0

27)

................................................................. αξίωμα 6.. A+0=A

#24

Ναι έχεις δίκιο, δεν φαίνεται να χρησιμοποιείται. Εν πάση περιπτώσει αφού το

είναι σύμβολο της λογικής επιτρέπεται ούτως ή άλλως να χρησιμοποιούμε τις ιδιότητές του που ανήκουν στα αξιώματα της λογικής (*) οπότε παίρνω πίσω το προηγούμενο σχόλιό μου.

(*) Π.χ. από το (4) στο (5) χρησιμοποιούμε ότι αν x=y

τότε σε κάθε πρόταση που εμφανίζεται το

μπορούμε να αντικαταστήσουμε στην θέση του το

για να πάρουμε μια ισοδύναμη πρόταση.

labrosb · #25

Κοιτάζοντας ξανά την παραπάνω απόδειξη παρατήρησα οτι στην γραμμή 3 έκανα μια υπόθεση και συγκεκριμένα οτι:
1<0

Η υπόθεση δεν έκλεισε επομένως δεν απέδειξα οτι, 0<1

, αλλά οτι :
$1<0 \Longrightarrow 0<1$
Επομένως η απόδειξή μου δεν είναι πλήρης ή σωστή. Συμφωνείς;

#26

Φτιάχνεται εύκολα: Η υπόθεση είναι $\neg 1 > 0$ . Γνωρίζεις επίσης από αξίωμα ότι $\neg 1 = 0$ και άρα από άλλο αξίωμα έχεις 0 > 1

.

labrosb · #27

Demetres έγραψε:Φτιάχνεται εύκολα: Η υπόθεση είναι $\neg 1 > 0$ . Γνωρίζεις επίσης από αξίωμα ότι $\neg 1 = 0$ και άρα από άλλο αξίωμα έχεις .

Σωστά.

Αλλά έτσι αλλάζουμε την δομή της απόδειξης από κανονική σε άτοπο.
Πολλές τότε αποδείξεις που είναι στο ίδιο στύλ με την παραπάνω απόδειξη πρέπει να θεωρηθούν λανθασμένες.
π.χ η απόδειξη στην σελίδα 12 του " UNIVERSITY CALCULUS ,with Analytic Geometry" , by G.B.Morrey.Jr, πρέπει να είναι λανθασμένη διότι αρχίζει με :

1<0

και καταλήγει με 0<1

labrosb · #28

Ίσως θα έπρεπε να παρουσιάσω την απόδειξη όπως την έχει γράψει ο συγγραφέας του βιβλίου που ανέφερα. Το αξιωματικό σύστημα που χρησιμοποιεί ο συγγραφέας είναι το κάτωθι.
Για όλα τα a,b,c

:
1) Εάν

και

είναι δύο πραγματικοί αριθμοί τότε υπάρχει ένας και μόνο ένας αριθμός ο οποίος συμβολίζεται a+b

και ονομάζεται το άθροισμα αυτών.

2) a+b=b+a

3)

4) Υπάρχει ένας και μόνο ένας αριθμός ο οποίος συμβολίζεται με

έτσι ώστε

5) Για κάθε

υπάρχει ένας και μόνο ένας αριθμός

ονομαζόμενος αρνητικός του

έτσι ώστε

. Αυτός ο αριθμός συμβολίζεται με

6) Εάν

και

είναι δύο πραγματικοί αριθμοί τότε υπάρχει ένας και μόνο ένας αριθμός ο οποίος συμβολίζεται a.b

και ονομάζεται το γινόμενο αυτών.

7) a.b=b.a

8)

9)

10) Υπάρχει ένας και μόνον ένας αριθμός που συμβολίζεται με

έτσι ώστε

Επιπλέον $1\neq 0$

11) Εάν $a \neq 0$ τότε υπάρχει ένας μόνο αριθμός

που ονομάζεται ο αντίστροφος του

έτσι ώστε a.x = x.a = 1

. Αυτός ο αριθμός χ συμβολίζεται με $a^{-1}$

12) Εάν

και

είναι πραγματικοί αριθμοί τότε ακριβώς μία από τις ακόλουθες προτάσεις είναι αληθής:
i) a>b

ii)

iii)

13)

αν και μόνο αν a-b > 0

14) Εάν

και

τότε

15) Ορισμοί:
i) Ένας αριθμός

είναι μικρότερος του

(συμβολικά a<b

) αν και μόνο αν b>a

. Ονομάζουμε το

θετικό αν και μόνο αν a>0

και αρνητικό αν και μόνο αν a<0

Κατόπι ο συγγραφέας αποδεικνύει μερικά θεωρήματα και καταλήγει με την απόδειξη 1>0

ώς εξής:

Απόδειξη:

Επειδή το $1 \neq 0$ πρέπει να έχουμε 1<0

ή

.
Αλλά εάν 1<0

, τότε

θα ήταν

, επειδή

και

.
Άρα

Βλέπουμε λοιπόν ότι άρχισε με την υπόθεση 1<0

και κατέληξε με 1>0

.
Άρα ΔΕΝ απέδειξε οτι 1>0

, αλλά :

$1<0 \Longrightarrow 1>0$ .

#29

Αυτό που αποδεικνύει είναι ότι $\neg A \Rightarrow A$ όπου

είναι η πρόταση 1 > 0

. Τα υπόλοιπα για να καταλήξουμε στην πρόταση

είναι κλασική λογική:

Η πρόταση $(\neg A \Rightarrow A) \Rightarrow A$ είναι ταυτολογία οπότε είτε αποδεικνύεται από μια μικρότερη λίστα λογικών αξιωμάτων είτε για ευκολία λαμβάνεται και αυτή καθώς και όλες οι ταυτολογίες ως λογικό αξίωμα. Τώρα από μια εφαρμογή του modus ponens λαμβάνουμε το

όπως θέλαμε.

labrosb · #30

Demetres έγραψε:Αυτό που αποδεικνύει είναι ότι $\neg A \Rightarrow A$ όπου είναι η πρόταση . Τα υπόλοιπα για να καταλήξουμε στην πρόταση είναι κλασική λογική:

Η πρόταση $(\neg A \Rightarrow A) \Rightarrow A$ είναι ταυτολογία οπότε είτε αποδεικνύεται από μια μικρότερη λίστα λογικών αξιωμάτων είτε για ευκολία λαμβάνεται και αυτή καθώς και όλες οι ταυτολογίες ως λογικό αξίωμα. Τώρα από μια εφαρμογή του modus ponens λαμβάνουμε το όπως θέλαμε.

Γιά να καταλάβω .

Ταυτίζεις το 1<0

με το $\neg A$ ;

#31

Όχι δεν τα ταυτίζω. Από την υπόθεση $\neg (1 > 0)$ , το αξίωμα $1 \neq 0$ και το αξίωμα ότι ακριβώς ένα από τα 1 > 0, 1 < 0

και

ισχύει παίρνω ότι 1 < 0

. Μετά από το 1 < 0

καταλήγουμε στο 1>0

.

Ξεκινήσαμε δηλαδή από το $\neg A$ και καταλήξαμε στο

.

labrosb · #32

Demetres έγραψε:Όχι δεν τα ταυτίζω. Από την υπόθεση $\neg (1 > 0)$ , το αξίωμα $1 \neq 0$ και το αξίωμα ότι ακριβώς ένα από τα και ισχύει παίρνω ότι . Μετά από το καταλήγουμε στο .

Ξεκινήσαμε δηλαδή από το $\neg A$ και καταλήξαμε στο .

Δηλαδή έχουμε:

.................................................περιπτωση 1η...........................................................................

1) $\neg (0<1)$ ..........................................................υπόθεση για ατοπο.

2) $1<0\vee 1=0$ ......................................................από το αξίωμα $A<B \vee B<A\vee A=B$

3) 1<0

.................................................................από το ίδιο αξίωμα και $1\neq 0$ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
και καταλήγουμε : 0<1

. Επομένως έχουμε $\neg(0<1)\wedge 0<1$ .

άρα άτοπο

άρα 0<1

....................................................περιπτωση 2η......................................................................

1) $\neg (0<1)$ ..........................................................υπόθεση για υποθετική απόδειξη

2) $1<0\vee 1=0$ ......................................................από το αξίωμα $A<B \vee B<A\vee A=B$

3) 1<0

.................................................................από το ίδιο αξίωμα και $1\neq 0$ .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
και καταλήγουμε : 0<1

.

Άρα : $\neg(0<1)\Longrightarrow 0<1$

.............................η.......................

$0<1\vee 0<1$

....................................η..........................................

0<1

σωστά ;

#33

Το είχα κάνει κάπως διαφορετικά αλλά και έτσι γίνεται. (Ανάλογα βέβαια με το πόσα αυστηρά ζητάει κάποιος την απόδειξη. Π.χ στην δεύτερη περίπτωση η προτελευταία γραμμή έπρεπε να διαβάζει $A \vee \neg \neg A$ . Ισχύει όμως είτε ως αξίωμα είτε ως θεώρημα ότι $(A \vee \neg \neg A) \Rightarrow (A \vee A)$ οπότε όλα είναι εντάξει.)

labrosb · #34

Demetres έγραψε:Το είχα κάνει κάπως διαφορετικά αλλά και έτσι γίνεται. (Ανάλογα βέβαια με το πόσα αυστηρά ζητάει κάποιος την απόδειξη. Π.χ στην δεύτερη περίπτωση η προτελευταία γραμμή έπρεπε να διαβάζει $A \vee \neg \neg A$ . Ισχύει όμως είτε ως αξίωμα είτε ως θεώρημα ότι $(A \vee \neg \neg A) \Rightarrow (A \vee A)$ οπότε όλα είναι εντάξει.)

Εγώ έκανα χρήση του κανόνα : $(\neg p \Longrightarrow q)\Longleftrightarrow (p\vee q)$

Βλέπουμε λοιπόν ότι και στις δύο περιπτώσεις αποδεικνύουμε 0<1

, ενώ ο συγγραφέας του βιβλίου που ανέφερα αποδεικνύει: $1<0\Longrightarrow 0<1$

το κατάλληλο σύστημα

Re: το κατάλληλο σύστημα

Re: το κατάλληλο σύστημα

Re: το κατάλληλο σύστημα

Re: το κατάλληλο σύστημα

Re: το κατάλληλο σύστημα

Re: το κατάλληλο σύστημα

Re: το κατάλληλο σύστημα

Re: το κατάλληλο σύστημα

Re: το κατάλληλο σύστημα

Re: το κατάλληλο σύστημα

Re: το κατάλληλο σύστημα

Re: το κατάλληλο σύστημα

Re: το κατάλληλο σύστημα

Re: το κατάλληλο σύστημα

Μέλη σε σύνδεση