Συναρτησιακή στο Ν

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(f(a)+f(b)+f(c))=a+b+c ,}$ για κάθε $a,b,c \in \mathbb{N}.$

jim.jt · #2

Θέτουμε

και έτσι έχουμε f(3f(a))=3a

(1)

Τώρα θέτουμε a=b=c=3f(a)

και εφαρμόζοντας την (1) έχουμε f(9a)=9f(a)

(2)

Στην (2) βάζουμε a=0

και έτσι

Στη συνέχεια στην αρχική θέτουμε b=c=0

και έχουμε f(f(a))=a

(3)

και μετά a=f(a),b=f(b),c=0

και έτσι από την (3) έχουμε f(a+b)=f(a)+f(b),

η οποία είναι η γνωστή εξίσωση του Cauchy για φυσικούς, που έχει λύση f(a)=f(1)a

Θέτουμε τη λύση στην δοσμένη εξίσωση και έχουμε $f^2(1)(a+b+c)=a+b+c\Leftrightarrow f(1)=1,$ άρα η λύση είναι η f(a)=a

Mikesar · #3

Εύκολα έχω ότι η

είναι 1-1.
Για a=b=c

η αρχική δίνει f(3f(a))=3a

.
Έστω $b_1,c_1:b_1+c_1=2a \ (1)$ . Τότε $f(f(a)+f(b_1)+f(c_1))=3a=f(3f(a))\Leftrightarrow f(b_1)+f(c_1)=2f(a)$ .
Έστω ότι υπάρχει a:f(a)<a

. Τότε $f(b_1)+f(c_1)<2a\Leftrightarrow f(b_1)<2a-1$ . Όμως το b_1

το διαλέγω από 2a-1

αριθμούς, οπότε θα υπάρχουν δύο που θα δίνουν την ίδια τιμή, που είναι άτοπο λόγω του 1-1.
Άρα $f(a)\geq a$ . Αν υπάρχει a_1:f(a_1)>a_1

, τότε $f(f(a_1)+f(b)+f(c))\geq f(a_1)+f(b)+f(c)>a_1+b+c$ που είναι άτοπο.
Συνεπώς f(n)=n

για κάθε φυσικό

.

#4

Από εδώ:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=339205

Συναρτησιακή στο Ν

Συναρτησιακή στο Ν

Re: Συναρτησιακή στο Ν

Re: Συναρτησιακή στο Ν

Re: Συναρτησιακή στο Ν

Μέλη σε σύνδεση