Ισχύει;

[Mikesar]

Για το εξής λήμμα το οποίο χρησιμοποίησα εδώ: Με διαιρετότητα, νόμιζα ότι είχα μια απλή απόδειξη, αλλά τελικά ήταν λανθασμένη. Δεν γνωρίζω αν πρόκειται για θεώρημα ή ανοιχτό πρόβλημα και αν εμπίπτει σε αυτό το φάκελο.

Έστω και το σύνολο των πρώτων αριθμών. Τότε το σύνολο έχει άπειρο πλήθος πρώτων διαιρετών.

[Demetres]

Θα δείξω κάτι αρκετά πιο ισχυρό: Για κάθε πρώτο υπάρχει πρώτος ώστε .

Αν παίρνω και το ζητούμενο αποδείχθηκε. Αν τότε και άρα από θεώρημα του Dirtichlet υπάρχει πρώτος (υπάρχουν μάλιστα άπειροι τέτοιοι πρώτοι) ώστε . Αυτός ο δουλεύει και το ζητούμενο πάλι αποδείχθηκε.

(Δεν ξέρω αν το ζητούμενο αποδεικνύεται και πιο στοιχειωδώς. Δεν το προσπάθησα.)

[Mikesar]

Καλησπέρα κύριε Δημήτρη, ευχαριστώ που ασχοληθήκατε!
Μια άλλη λύση υπάρχει εδώ.
Ακόμα δεν έχει βρεθεί κάτι πιο στοιχειώδες...

[Αρχιμήδης 6]

Για το εξής λήμμα το οποίο χρησιμοποίησα εδώ: Με διαιρετότητα, νόμιζα ότι είχα μια απλή απόδειξη, αλλά τελικά ήταν λανθασμένη. Δεν γνωρίζω αν πρόκειται για θεώρημα ή ανοιχτό πρόβλημα και αν εμπίπτει σε αυτό το φάκελο.

Έστω και το σύνολο των πρώτων αριθμών. Τότε το σύνολο έχει άπειρο πλήθος πρώτων διαιρετών.

Η λύση μου διεγράφη γιατί μόλις είδα την ομοιότητα με την λύση του κύριου Δημήτρη.

Θα ψάξω για κάτι elementary.

[Αρχιμήδης 6]

Για το εξής λήμμα το οποίο χρησιμοποίησα εδώ: Με διαιρετότητα, νόμιζα ότι είχα μια απλή απόδειξη, αλλά τελικά ήταν λανθασμένη. Δεν γνωρίζω αν πρόκειται για θεώρημα ή ανοιχτό πρόβλημα και αν εμπίπτει σε αυτό το φάκελο.

Έστω και το σύνολο των πρώτων αριθμών. Τότε το σύνολο έχει άπειρο πλήθος πρώτων διαιρετών.

Θα κάνω μια προσπάθεια για
στοιχειώδης αντιμετώπιση του θέματος που ζήτησε ο Μιχάλης .


Έστω ότι το πλήθος των διαιρετών του συνόλου είναι πεπερασμένο και έστω λοιπόν ότι οι μόνοι διαιρέτες του συνόλου αυτού είναι οι για έναν δεδομένο αριθμό

Προφανώς θα ισχύουν τα παρακάτω.



.
.
.


Από τα παραπάνω βλέπω ότι για κάθε (1)

Ας πάρουμε τώρα έναν πρώτο αριθμό που είναι διάφορος του έστω

Τότε ένας τουλάχιστον από τους θα διαιρεί τον
Έστω

Από την (1) θα πρέπει

οπότε Αδύνατον !

Καλές γιορτές σε όλους !