Όμορφη από Ρουμανία

#1

Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)}$ ώστε

ι) $\displaystyle{xf(f(x))=(f(x))^2}$ , για κάθε $\displaystyle{x>0}$ και

ιι) Υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac {f(x)}{x}}$

#2

viewtopic.php?f=61&t=9545

kwstas12345 · #3

Και άλλη μια λύση που είχα στείλει χθες στον κ.Σπύρο αλλά ξέχασα να την γράψω:

Aρχικά η συναρτησή μας είναι 1-1 και λόγω συνέχειας μονότονη (γνήσιως αύξουσα) και εχει όριο στο άπειρο το άπειρο άρα είναι επί και αντιστρέφεται.Μια συνάρτηση που ικανοποιεί τηνν αρχική σχέση εύκολα προκύπτει ότι ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{f\left(x\left(\frac{x}{f(x)} \right)^n \right)}{\left(\frac{x}{f(x)} \right)}$ (1)

διότι από την αρχική έχουμε $\displaystyle f^{-1}(x)f(x)=x^2\Rightarrow x=f\left(\frac{x^2}{f(x)} \right)$ ,και θέτουμε διαδοχικά $\displaystyle x:=\frac{x^2}{f(x)}$ .

Oμοίως βρίσκουμε ότι $\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{f^{-1}\left(x\left(\frac{x}{f^{-1}(x)} \right)^n \right)}{\left(\frac{x}{f^{-1}(x)} \right)^n}$ , έπειτα θέτουμε $\displaystyle x:=f(x)$ και λαμβάνουμε ότι $\displaystyle \frac{x}{f(x)}=\frac{f^{-1}\left(\left(f(x)\left(\frac{f(x)}{x} \right)^n \right) \right)}{f(x)\left(\frac{f(x)}{x} \right)^n}$ (2)

Έστω $\displaystyle a:=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{f^{_1}(x)}$ .

Άν $\displaystyle f(x)>x$ τότε από την πρώτη σχέση αφήνοντας το

να παέι στο άπειρο έχουμε $\displaytstyle f(x)=ax$ . Με παρόμοιο τρόπο αν f(x)<x

από την δεύτερη σχέση παίρνωντας όρια έχουμε f(x)=ax

.

Άν

τότε

.Έστω $a\neq 1$ τότε $\displaystyle \left(0, \infty \right)=\left\{x:f(x)=x \right\}\cup\left\{x:f(x)=ax \right\}$ , τα δύο αυτά σύνολα έχει ξένα και κλειστα λόγω συνέχειας , αλλά και ανοιχτά αφού είναι συμπληρώματα κλειστών, άρα λόγω συνεκτικότητας κάποιο από τα δυο είναι κενό.

Έυκολα τώρα προκύπτει ότι f(x)=ax

με $\displaystyle a:=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}$ .

kostas_zervos · #4

s.kap έγραψε:Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)}$ ώστε

ι) $\displaystyle{xf(f(x))=(f(x))^2}$ , για κάθε $\displaystyle{x>0}$ και

ιι) Υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac {f(x)}{x}}$

Όταν λέει Υπάρχει το $\color{blue}\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac {f(x)}{x}}$ , θεωρούμε ότι είναι υποχρεωτικά πραγματικός αριθμός;

Μήπως πρέπει να αποκλειστεί η περίπτωση να είναι $+\infty$ ; ( $-\infty$ δεν είναι γιατί f(x)>0

).

kwstas12345 · #5

Να γράψω λίγο πιο καθαρά γιατι το όριο είναι πραγματικος αριθμός.

Άν $\displaystyle x_{0}:f(x_{0})>x_{0}$ τότε $\displaystyle \left(\frac{x_{0}}{f\left(x_{0} \right)} \right)^n\rightarrow 0$ άρα από την αρχή της μεταφοράς έχουμε $\displaystyle \frac{f(x_{0})}{x_{0}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{x_{0}\left(\frac{x_{0}}{f\left(x_{0} \right)} \right)^n}f\left(x_{0}\left(\frac{x_{0}}{f\left(x_{0} \right)} \right)^n \right)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}$

αυτό δειχνει ότι κάθε $\displaystyle x_{0}$ (αν υπάρχει) τέτοιο ώστε $\displaystyle f(x_{0})>x_{0}$ τότε $\displaystyle \frac{f\left(x_{0} \right)}{x_{0}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}$ . Άρα το όριο είναι πεπερασμενο και $\displaystyle f(x)=ax , \forall x >0:f(x)>x$ .

Όμοια αν $\displaystyle x_{0}:f(x_{0})<x_{0}\Rightarrow \left(\frac{f\left(x_{0} \right)}{x_{0}} \right)^n \rightarrow 0$ οπότε: $\displaystyle \frac{x_{0}}{f\left(x_{0} \right)}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{f^{-1}\left(f(x_{0})\left(\frac{f(x_{0})}{x_{0}} \right)^n \right)}{f(x_{0})\left(\frac{f(x_{0})}{x_{0}} \right)^n}=\frac{1}{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}}>0$ .

Άρα δεν μπορεί το όριο να είναι άπειρο (γιατι τότε $\displaystyle \frac{x_{0}}{f\left(x_{0} \right)}=0$ ), επίσης για κάθε $x_{0}$ , αν υπάρχει τέτοιο ώστε $\displaystyle f\left(x_{0} \right)<x_{0}\Rightarrow f(x_{0})=ax_{0}$ .Δηλαδή $\displaystyle \forall x:f(x)\neq x\Rightarrow f(x)=ax$ .Τέλος αν δεν υπάρχει $\displaystyle x:f(x)\neq x\Rightarrow f(x)=x\Rightarrow a=1$ .

#6

Δεν θυμόμουν ότι την είχα ξαναπροτείνει (πέρασαν 3 χρόνια). Τότε δεν μπόρεσα να τη λύσω. Την συνάντησα πριν λίγες μέρες κάπου αλλού

με εντυπωσίασε και ασχολήθηκα δίνοντας μία λύση παρόμοια με αυτή του Κώστα ως εξής (σύντομα)

Χρησιμοποιώ τη συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=\frac {f(x)}{x}}$ και με τη βοήθεια της καθώς και της ακολουθίας $\displaystyle{a_1=f(x), a_{n+1}=f(a_n)}$

βρίσκω ότι:

Αν η $\displaystyle{f}$ δεν έχει σταθερό σημείο, τότε $\displaystyle{f(x)=\lambda x}$ με $\displaystyle{0< \lambda \neq 1}$

Αν η $\displaystyle{f}$ έχει ένα μόνο σταθερό σημείο, τότε $\displaystyle{f(x)=x}$

Αν η $\displaystyle{f}$ έχει περισσότερα από ένα σταθερά σημεία, τότε το σύνολο των σταθερών σημείων της $\displaystyle{f}$ είναι πυκνό υποσύνολο του $\displaystyle{(0,+\infty)}$ ,

γιατί σε αντίθετη περίπτωση θα υπήρχαν σταθερά σημεία $\displaystyle{a,b}$ με $\displaystyle{a<b}$ και στο διάστημα $\displaystyle{(a,b)}$ η $\displaystyle{f}$ δεν έχει σταθερό σημείο, το οποίο με τη

βοήθεια της $\displaystyle{h}$ και της ακολουθίας μας οδηγεί σε άτοπο. Λόγω, λοιπόν, της πυκνότητας και της συνέχειας θα έχουμε $\displaystyle{f(x)=x}$ παντού.

Όμορφη από Ρουμανία

Όμορφη από Ρουμανία

Re: Όμορφη από Ρουμανία

Re: Όμορφη από Ρουμανία

Re: Όμορφη από Ρουμανία

Re: Όμορφη από Ρουμανία

Re: Όμορφη από Ρουμανία

Μέλη σε σύνδεση