Putnam 2012 - Θέμα Α3

#1

Να βρεθεί ο τύπος της συνεχούς συνάρτησης $\displaystyle{f:\left[ { - 1,1} \right] \to \Bbb{R}}$ , για την οποία ισχύουν:

1. $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{2 - {x^2}}}{2}f\left( {\frac{{{x^2}}}{{2 - {x^2}}}} \right)}$ για κάθε $x \in \left[ { - 1,1} \right],$

2. $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 1}$ και

3. Το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right)}}{{\sqrt {1 - x} }}}$ υπάρχει στο $\Bbb{R}$ .

Σημείωση: Στο Διαγωνισμό (προχθές) δόθηκε όπως παραπάνω. Φαίνεται, όμως, ότι η άσκηση επιδέχεται "βελτίωση"!

Extra Credit: Να δείξετε ότι η υπόθεση 3. είναι περιττή!...

kostas_zervos · #2

emouroukos έγραψε:Να βρεθεί ο τύπος της συνεχούς συνάρτησης $\displaystyle{f:\left[ { - 1,1} \right] \to \Bbb{R}}$ , για την οποία ισχύουν:

1. $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{2 - {x^2}}}{2}f\left( {\frac{{{x^2}}}{{2 - {x^2}}}} \right)}$ για κάθε $x \in \left[ { - 1,1} \right],$

2. $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 1}$ και

3. Το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{f\left( x \right)}}{{\sqrt {1 - x} }}}$ υπάρχει στο $\Bbb{R}$ .

Σημείωση: Στο Διαγωνισμό (προχθές) δόθηκε όπως παραπάνω. Φαίνεται, όμως, ότι η άσκηση επιδέχεται "βελτίωση"!

Extra Credit: Να δείξετε ότι η υπόθεση 3. είναι περιττή!...

ΜΙΑ ΞΕΧΑΣΜΕΝΗ

Είναι $f(-x)= \dfrac{2 - (-x)^2}{2}f\left( \dfrac{(-x)^2}{2-(-x)^2}\right)=f(x)$ , άρα η

είναι άρτια.

Για 0<x< 1:

Θέτουμε $x=\dfrac{2t}{t^2+1}\;,\;t>0$ και έχουμε $f\left(\dfrac{2t}{t^2+1}\right)=\dfrac{1+t^4}{(1+t^2)^2}f\left(\dfrac{2t^2}{t^4+1}\right)$ .

Έστω $g(x)=f\left(\dfrac{2x}{x^2+1}\right)$ , τότε $g(x)=\dfrac{1+x^4}{(1+x^2)^2}g(x^2)$ ή

$g(x^2)=\dfrac{(1+x^2)^2}{1+x^4}g(x)$ , επομένως $g(x)=\dfrac{(1+x)^2}{1+x^2}g(\sqrt{x})$ .

Από εδώ με επαγωγή $g(x)=(1+x)\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt[2^2]{x}\right)\cdots\left(1+\sqrt[2^n]{x}\right)\dfrac{1+\sqrt[2^n]{x}}{1+x^2}g\left(\sqrt[2^{n+1}]{x}\right)$ .

Αλλά $(1+x)\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt[2^2]{x}\right)\cdots\left(1+\sqrt[2^n]{x}\right)=$

$=\dfrac{(1+x)\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt[2^2]{x}\right)\cdots\left(1+\sqrt[2^n]{x}\right)\left(1-\sqrt[2^n]{x}\right)}{1-\sqrt[2^n]{x}}=$

$=\dfrac{(1+x)\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt[2^2]{x}\right)\cdots\left(1+\sqrt[2^{n-1}]{x}\right)\left(1-\sqrt[2^{n-1}]{x}\right)}{1-\sqrt[2^n]{x}}=\cdots=$

$=\cdots=\dfrac{1-x^2}{1-\sqrt[2^n]{x}}$ .

Έτσι $g(x)=\dfrac{1-x^2}{1-\sqrt[2^n]{x}}\dfrac{1+\sqrt[2^n]{x}}{1+x^2}g\left(\sqrt[2^{n+1}]{x}\right)$ και επομένως:

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}g(x)=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1-x^2}{1-\sqrt[2^n]{x}}\dfrac{1+\sqrt[2^n]{x}}{1+x^2}g\left(\sqrt[2^{n+1}]{x}\right)\Rightarrow$

$\displaystyle\Rightarrow g(x)=\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\lim_{n\to+\infty}\left(1+\sqrt[2^n]{x}\right)\dfrac{g\left(\sqrt[2^{n+1}]{x}\right)}{1-\sqrt[2^n]{x}}\;\;\color{red}(1)$ .

Είναι $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sqrt[2^n]{x}=1$ .

Για το $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{g\left(\sqrt[2^{n+1}]{x}\right)}{1-\sqrt[2^n]{x}}$ θέτουμε $u=\sqrt[2^{n+1}]{x}$ με $u\to 1$ και έχουμε:

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{g\left(\sqrt[2^{n+1}]{x}\right)}{1-\sqrt[2^n]{x}}=\lim_{u\to 1}\dfrac{g(u)}{1-u^2}=\lim_{u\to 1}\dfrac{g(u)}{1-u}\dfrac{1}{1+u}$ .

Αλλά $\displaystyle\lim_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)}{\sqrt{1-x}}=m\in\Bbb{R}$ και θέτοντας $x=\dfrac{2y}{1+y^2}\;,\;0<y<1$ έχουμε ότι $y\to 1$

$\displaystyle\lim_{y\to 1}\dfrac{f\left(\frac{2y}{1+y^2}\right)}{\sqrt{1-\frac{2y}{1+y^2}}}=m\iff \lim_{y\to 1}\dfrac{g(y)}{1-y}\sqrt{1+y^2}=m$ και από εδώ $\displaystyle \lim_{y\to 1}\dfrac{g(y)}{1-y}=\dfrac{m}{2}$ .

Άρα από την $\color{red}(1)$ έχουμε $g(x)=\dfrac{m}{2}\dfrac{1-x^2}{1+x^2}\iff f\left(\dfrac{2x}{x^2+1}\right)=\dfrac{m}{2}\dfrac{1-x^2}{1+x^2}$ και θέτοντας $x\to \dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\in(0,1)$ έχουμε

$f(x)=\dfrac{m}{2}\sqrt{1-x^2}$ για κάθε $x\in(0,1)$ .

Λόγω της συνέχεια στο x_0=0

βρίσκουμε

.

Από την αρχική σχέση ή από το όριο βρίσκουμε f(1)=0

και αφού είναι άρτια και f(0)=1

, θα έχουμε $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ για κάθε $x\in[-1,1]$ .

Putnam 2012 - Θέμα Α3

Putnam 2012 - Θέμα Α3

Re: Putnam 2012 - Θέμα Α3

Μέλη σε σύνδεση