Συναρτησιακή εξίσωση (μγ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(x)+2y)=f(2x)+y+f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Το παραπάνω είναι μια ευκολότερη έκδοση του προβλήματος (Longlist 2012):

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(x)+2y)=f(2x)+y+f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+$ .

$\mathbb{R}^+=(0,+\infty)$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(x)+2y)=f(2x)+y+f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Έστω

η σχέση $\displaystyle{ f(x+f(x)+2y)=f(2x)+y+f(y) .}$

Παρατηρούμε ότι αν η

είναι περιοδική με περίοδο

δηλαδή

τότε θέτοντας y:=y+T

προκύπτει

Θα δείξουμε ότι η

είναι 1-1:

Έστω $a,b\in\Bbb{R}$ με f(a)=f(b).

Τότε:

Συγκρίνοντας τα $\displaystyle{P\left(\frac{a}{2},y\right), \ P\left(\frac{b}{2},y\right)}$ έχουμε $\displaystyle{f\left(\frac{a}{2}+f\left(\frac{a}{2}\right)+2y\right)=f\left(\frac{b}{2}+f\left(\frac{b}{2}\right)+2y\right)}$ οπότε, από την παραπάνω παρατήρηση, $\displaystyle{\frac{a}{2}+f\left(\frac{a}{2}\right)=\frac{b}{2}+f\left(\frac{b}{2}\right).}$

Συγκρίνοντας τα $\displaystyle{P\left(a,\frac{b}{2}\right), \ P\left(b,\frac{a}{2}\right)}$ έχουμε $\displaystyle{f(2a)=f(2b).}$

Συγκρίνοντας τα $\displaystyle{P\left(a,y\right), \ P\left(b,y\right)}$ έχουμε $\displaystyle{a+f(a)=b+f(b)}$ οπότε a=b.

Επομένως, η

είναι 1-1.

Θέτοντας y=-x-f(x)

έχουμε

οπότε η δοθείσα γράφεται $\displaystyle{ f(x+f(x)+2y)=f(2x)+f(2y) .}$

Από την τελευταία έχουμε $\displaystyle{ f(x+f(x)+2y)=f(y+f(y)+2x) \stackrel{f:1-1}{\implies} f(x)-x=f(y)-y ,}$
δηλαδή η συνάρτηση f(x)-x

είναι σταθερή και άρα f(x)=x+c

για κάθε

Οι παραπάνω συναρτήσεις αποτελούν λύση για κάθε $c\in \Bbb{R}.$

#3

socrates έγραψε:Το παραπάνω είναι μια ευκολότερη έκδοση του προβλήματος (Longlist 2012):

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(x)+2y)=f(2x)+y+f(y) ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+$ .

Δείτε:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=556215

#4

Μετονομάστηκε σε "Συναρτησιακή εξίσωση (μγ)".

Συναρτησιακή εξίσωση (μγ)

Συναρτησιακή εξίσωση (μγ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση