ΣΥΣΤΗΜΑ 7

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} y + z + yz = 11\\ z + x + zx = 7\\ x + y + xy = 5\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

kostas_zervos · #2

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} y + z + yz = 11\\ z + x + zx = 7\\ x + y + xy = 5\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

$\begin{cases}y + z + yz = 11\\z + x + zx = 7\\x + y + xy = 5\\\end{cases}\iff \begin{cases}y + z + yz +1= 12\\z + x + zx +1= 8\\x + y + xy+1 =6\\\end{cases}\iff$

$\iff\begin{cases}(y+1)(z+1)=12\\(x+1)(z+1)=8\\(y+1)(x+1)=6\\\end{cases}\;\;(1)$ .

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε (x+1)^2(y+1)^2(z+1)^2=576=24^2

,άρα

ή

.

Αντικαθιστώντας από την (1)

έχουμε
$12(x+1)=24\iff x=1$ , $8(y+1)=24\iff y=2$ και $6(z+1)=24\iff z=3$ .

ή

$12(x+1)=-24\iff x=-3$ , $8(y+1)=-24\iff y=-4$ και $6(z+1)=-24\iff z=-5$ .

Άρα (x,y,z)=(1,2,3)

ή

parmenides51 · #3

παρόμοιες

matha έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases}x+y+xy=8 \\ y+z+yz=15 \\ z+x+zx=35 \end{cases}}$

εδώ

matha έγραψε:Να λυθεί το σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases}xy+2x+y=7, \\yz+3y+2z=12,\\ zx+z+3x=15.\end{cases}}$

εδώ

parmenides51 · #4

διαφορετικά (αφού μελέτησα τις παραπομπές

)

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} y + z + yz = 11\\ z + x + zx = 7\\ x + y + xy = 5\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.$

$\displaystyle{y + z + yz = 11\Leftrightarrow (1+y)z=11-y}$

αν $\displaystyle{y=-1\Rightarrow 0=12}$ άτοπο, άρα $\displaystyle{y\ne-1}$ οπότε $\displaystyle{z=\frac{11-y}{1+y}}$ (1)

$\displaystyle{x + y + xy = 5\Leftrightarrow (1+y)x=5-y\Leftrightarrow x=\frac{5-y}{1+y}}$ αφού $\displaystyle{y\ne-1}$ (2)

Αντικαθιστώντας τις (1),(2) στην $\displaystyle{z + x + zx = 7}$ έχουμε

$\displaystyle{\frac{11-y}{1+y} + \frac{5-y}{1+y} + \frac{11-y}{1+y}\frac{5-y}{1+y} = 7}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (11-y+5-y)(1+y)+(11-y)(1+y)=7(y^2+2y+1)}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow y^2+2y-8=0 \Leftrightarrow y=-4}$ ή $\displaystyle{y=2}$

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{y=-4}$ είναι

$\displaystyle{x=\frac{5-y}{1+y}=\frac{5-(-4)}{1+(-4)}=\frac{9}{-3}=-3}$

$\displaystyle{z=\frac{11-y}{1+y}=\frac{11-(-4)}{1+(-4)}=\frac{15}{-3}=-5}$

άρα $\displaystyle{(x,y,z)=(-3,-4,-5)}$

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{y=2}$ είναι

$\displaystyle{x=\frac{5-y}{1+y}=\frac{5-2}{1+2}=\frac{3}{3}=1}$

$\displaystyle{z=\frac{11-y}{1+y}=\frac{11-2}{1+2}=\frac{9}{3}=3}$

άρα $\displaystyle{(x,y,z)=(1,2,3)}$

parmenides51 · #5

διαφορετικά πάλι

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} y + z + yz = 11\\ z + x + zx = 7\\ x + y + xy = 5\\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.$

$\displaystyle{y + z + yz = 11\Leftrightarrow (1+y)z=11-y}$

αν $\displaystyle{y=-1\Rightarrow 0=12}$ άτοπο, άρα $\displaystyle{y\ne-1}$ οπότε $\displaystyle{z=\frac{11-y}{1+y}}$ (1)

Αντικαθιστώντας την (1) στην $\displaystyle{z + x + zx = 7}$ έχουμε

$\displaystyle{\frac{11-y}{1+y} + x + \frac{11-y}{1+y}x = 7}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 11-y+x(1+y)+x(11-y)=7(1+y)}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow y=\frac{3x+1}{2}}$ (2)

Αντικαθιστώντας την (2) στην $\displaystyle{x + y + xy = 5}$ έχουμε

$\displaystyle{x + \frac{3x+1}{2}+ x\frac{3x+1}{2}= 5}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2x+3x+1+x(3x+1)=10}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 3x^2+6 x-9=0 \Leftrightarrow x=-3}$ ή $\displaystyle{x=1}$

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{x=-3}$ είναι

$\displaystyle{y=\frac{3x+1}{2}=\frac{3(-3)+1}{2}=\frac{-9+1}{2}=\frac{-8}{2}=-4}$

$\displaystyle{z=\frac{11-y}{1+y}=\frac{11-(-4)}{1+(-4)}=\frac{15}{-3}=-5}$

άρα $\displaystyle{(x,y,z)=(-3,-4,-5)}$

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{x=1}$ είναι

$\displaystyle{y=\frac{3x+1}{2}=\frac{3\cdot 1+1}{2}=\frac{4}{2}=2}$

$\displaystyle{z=\frac{11-y}{1+y}=\frac{11-2}{1+2}=\frac{9}{3}=3}$

άρα $\displaystyle{(x,y,z)=(1,2,3)}$

ΣΥΣΤΗΜΑ 7

ΣΥΣΤΗΜΑ 7

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 7

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 7

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 7

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 7

Μέλη σε σύνδεση