Περιοδική

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\Bbb{Z}\to \Bbb{Z}$ για τις οποίες η συνάρτηση $g:\Bbb{Z}\to \Bbb{Z}$ με g(n)=n(f(n+1)-f(n))

είναι περιοδική.

Thanasis Tasoulas · #2

Μια λύση με επιφυλάξεις.
$g(n)=n\left( f(n+1)-f(n) \right),\forall n\in \mathbb{Z},(1)$ και $f(n),g(n)\in \mathbb{Z}$ και g(0)=0

Επίσης αφού

περιοδική άρα $g(n)=g(n+kT),T=\sigma \tau \alpha \theta .,T\in {{\mathbb{Z}}_{>0}},\forall n,k\in \mathbb{Z},(2)$
$(2):n=0:g(0)=g(kT)\Rightarrow g(kT)=0,T=\sigma \tau \alpha \theta .,T\in {{\mathbb{Z}}_{>0}},\forall k\in \mathbb{Z},(3)$
$(2)\Rightarrow g(n)=g(n+kT)=(n+kT)\left[ f(n+kT+1)-f(n+kT) \right]$ , άρα $(n+kT)\left| g(n),\forall n,k\in \mathbb{Z} \right.,(4)$ .
Έστω ότι $\exists {{n}_{0}}\in (0,T)$ τέτοιο ώστε $g({{n}_{0}})\ne 0$ , άρα λόγω της (4) έχουμε ότι
$\displaystyle{\left| g({{n}_{0}}) \right|\ge {{n}_{0}}+kT\Rightarrow \left| g({{n}_{0}}) \right|\ge \underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{n}_{0}}+kT \right)=+\infty }$ άτοπο.
Άρα $g(n)=0,\forall n\in \left[ 0,T \right]$ , όπου λόγω της περιοδικότητας της

έχουμε ότι $g(n)=0,\forall n\in \mathbb{Z}$ άρα $(1)\Rightarrow f(n+1)=f(n),\forall n\in {{\mathbb{Z}}^{*}}$ , άρα άμεσα προκύπτει ότι
$f(n)=c_1,n\geq 1$ και $f(n)=c_2,n\leq 0$ $,n\in \mathbb{Z},{{c}_{1}},{{c}_{2}}=\sigma \tau \alpha \theta .,{{c}_{1}},{{c}_{2}}\in \mathbb{Z}$ , που επαληθεύει και την αρχική.
Αν γίνεται να την τσεκάρει κάποιος να μου πει αν είναι σωστή η λύση.

Επίσης εκεί που είπα ότι έστω " $\exists {{n}_{0}}\in (0,T)$ ..." θα μπορούσαμε να πούμε ότι ${{n}_{0}}\in Z$ και να καταλήγαμε κατευθείαν εδώ $g(n)=0,\forall n\in \mathbb{Z}$ .
Ευχαριστώ τον Θανάση(socrates) για την επισήμανση.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=523508

Περιοδική

Περιοδική

Re: Περιοδική

Re: Περιοδική

Μέλη σε σύνδεση