ΙΚΑΡΩΝ 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση $\displaystyle{A=\sigma\upsilon\nu^2\beta-\sigma\upsilon\nu^2\alpha}$

2. Αν μεταξύ των γωνιών τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{\varepsilon \phi B=\frac{\sigma\upsilon\nu(\Gamma-B)}{\eta\mu A+\eta\mu (\Gamma-B)}}$ ,
να δειχθεί οτι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

3. Να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του τόξου $\displaystyle{\frac{17\pi}{3}}$ .

4. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\eta\mu 2x-\sigma\upsilon\nu 2x-\eta \mu x +\sigma\upsilon\nu x=0}$

5. Να αποδειχθεί ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές εαν μεταξύ των στοιχείων του ισχύει $\displaystyle{\beta \sigma\upsilon\nu A=\alpha \sigma\upsilon\nu B}$

kostas136 · #2

Για το 4ο θέμα.

$\displaystyle 1+\sin 2x -1 -\cos^2 x +\sin^2 x -\sin x + \cos x=0\Leftrightarrow (\sin x + \cos x)^2 -1+(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)-(\sin x-\cos x)=0\Leftrightarrow (\sin x+\cos x-1)(\sin x+\cos x+1)+(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x-1)=0\Leftrightarrow (\sin x+\cos x-1)(2\sin x+1)=0$

Άρα $\displaystyle \sin x=-\frac{1}{2}...$

ή $\displaystyle \sin x+\cos x=1$

Από το τελευταίο συμπεραίνουμε ότι και τα δύο $\displaystyle \sin x\ ,\ \cos x$ είναι μη αρνητικά, άρα ισοδύναμα $\displaystyle \sin 2x=0...$

#3

parmenides51 έγραψε:2. Αν μεταξύ των γωνιών τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{\varepsilon \phi B=\frac{\sigma\upsilon\nu(\Gamma-B)}{\eta\mu A+\eta\mu (\Gamma-B)}}$ ,
να δειχθεί οτι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Δυστυχώς, οι τύποι που χρησιμοποιούνται για την λύση της άσκησης αυτής, δεν διδάσκονται πλέον στο σχολείο!!!!

Έχουμε:

$\displaystyle{\frac{\eta \mu B}{\sigma \upsilon \nu B}=\frac{\sigma \upsilon \nu (\Gamma -B)}{\eta \mu (B+\Gamma)+\eta \mu (\Gamma -B)}$

$\displaystyle{\Rightarrow \frac{\eta \mu B}{\sigma \upsilon \nu B}=\frac{\sigma \upsilon \nu \Gamma \sigma \upsilon \nu B+\eta \mu \Gamma \eta \mu B}{2\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu B}}$

$\displaystyle{\Rightarrow \sigma \upsilon \nu (B+\Gamma )=0\Rightarrow B+\Gamma =k\pi +\frac{\pi}{2}\Rightarrow \pi -A=k\pi +\frac{\pi}{2}}$ , όπου $\displaystyle{k\in Z}$

$\displaystyle{\Rightarrow A=m\pi +\frac{\pi}{2} , m\in Z}$ . Αλλά $\displaystyle{0< A <\pi}$ . Άρα $\displaystyle{0< m\pi +\frac{\pi}{2}<\pi \Rightarrow}$

$\displaystyle{-\frac{\pi}{2}<m\pi <\frac{\pi}{2}\Rightarrow -\frac{1}{2}<m<\frac{1}{2}\Rightarrow m=0}$

Άρα $\displaystyle{A=\frac{\pi}{2}}$

#4

parmenides51 έγραψε: 5. Να αποδειχθεί ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές εαν μεταξύ των στοιχείων του ισχύει $\displaystyle{\beta \sigma\upsilon\nu A=\alpha \sigma\upsilon\nu B}$

Φανερά είναι $\displaystyle{A,B\in \Big(0,\frac{\pi}{2}\Big)}$ .
Η δοθείσα γράφεται

$\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{\cos A}{\cos B}.}$ ( $\displaystyle{\bf \color{red}1}$ )

Είναι

$\displaystyle{a\geq b\iff \frac{a}{b}\geq 1\stackrel{\bf 1}{\iff}\frac{\cos A}{\cos B}\geq 1\iff \cos A\geq \cos B\iff A\leq B\iff a\leq b}$

Άρα $\displaystyle{a=b.}$

Διαφορετικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι από τον Νόμο των Ημιτόνων και την ταυτότητα $\displaystyle{2\sin x\cos y=\sin (x+y)+\sin (x-y)}$ είναι

$\displaystyle{a\cos B=b\cos A\implies 2\sin A\cos B=2\sin B\cos A\implies \sin (A+B)+\sin (A-B)=}$

$\displaystyle{=\sin (A+B)+\sin (B-A)\implies \sin (A-B)=0\implies A=B.}$

#5

parmenides51 έγραψε:1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση $\displaystyle{A=\sigma\upsilon\nu^2\beta-\sigma\upsilon\nu^2\alpha}$

Είναι

$\displaystyle{\rm \cos ^2a-\cos ^2b=\sin ^2b-\sin ^2a=\sin (b-a)\sin (b+a).}$

gauss1988 · #6

parmenides51 έγραψε:5. Να αποδειχθεί ότι ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές εαν μεταξύ των στοιχείων του ισχύει $\displaystyle{\beta \sigma\upsilon\nu A=\alpha \sigma\upsilon\nu B}$

Και με τον νόμο συνημιτόνων:

$\beta \sigma \upsilon \nu A=a\sigma \upsilon \nu B \Rightarrow \beta \frac{\beta ^2 +\gamma ^2 -a^2}{2\beta \gamma}=a\frac{a^2 +\gamma ^2 -\beta ^2}{2a\gamma}$

Άρα $\beta ^2 +\gamma ^2 -a^2 =a^2 +\gamma ^2 -\beta ^2 \Rightarrow 2\beta ^2 =2a^2 \Rightarrow \beta =a$

Γιώργος Απόκης · #7

parmenides51 έγραψε:
3. Να υπολογισθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του τόξου $\displaystyle{\frac{17\pi}{3}}$ .

Έχουμε : $\displaystyle{\frac{17\pi}{3}=\frac{18\pi-\pi}{3}=6\pi-\frac{\pi}{3}}$ άρα

$\displaystyle{\eta \mu \frac{17\pi}{3}=\eta \mu \left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\eta \mu \frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \frac{17\pi}{3}=\sigma \upsilon \nu \left(-\frac{\pi}{3}\right)=\sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{\epsilon \phi \frac{17\pi}{3}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=-\sqrt{3},~~\sigma \phi \frac{17\pi}{3}=\frac{1}{-\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3} }$

ΙΚΑΡΩΝ 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΙΚΑΡΩΝ 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1967 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση