Ανοικτά σύνολα 1

pito · #1

Καλησπέρα

.

Να δείξετε ότι κάθε ανοικτό υποσύνολο του

είναι μια αριθμήσιμη ένωση κλειστών διαστημάτων.

kostas_zervos · #2

pito έγραψε:Καλησπέρα .

Να δείξετε ότι κάθε ανοικτό υποσύνολο του είναι μια αριθμήσιμη ένωση κλειστών διαστημάτων.

$\displaystyle(a,b)= \bigcup_{n=1}^{+\infty}\left[a+\dfrac{b-a}{n+1},b-\dfrac{b-a}{n+1}\right]$

slash · #3

Άλλη λύση : $(a,b)=\bigcup_{p<q}^{}{}[p,q]$ όπου p,q

ρητοί στο

. Επιπρόσθετο ερώτημα που ενδεχομένως να έχει απαντηθεί :
Μπορεί ένα ανοιχτό διάστημα να γραφεί σαν ένωση ξένων κλειστών διαστημάτων ; Από την απάντηση συνάγετε αν το επίπεδο μπορεί να γραφεί σαν ένωση ξένων κλειστών δίσκων ή όχι.

#4

pito έγραψε:Καλησπέρα .

Να δείξετε ότι κάθε ανοικτό υποσύνολο του είναι μια αριθμήσιμη ένωση κλειστών διαστημάτων.

Να συνεχίσω την λύση του Κώστα γιατί ίσως δεν είναι σε όλους σαφής η συνέχεια. Δείχνουμε τώρα ότι κάθε ανοικτό υποσύνολο του $\mathbb R$ γράφεται ως ξένη ένωση αριθμήσιμου πλήθους ανοικτών διαστημάτων. Η απόδειξη είναι απλή (αλλά όχι τετριμμένη) και βρίσκεται σε όλα τα βιβλία Τοπολογίας.

Μ.

#5

Νομίζω το πρόβλημα αναφέρεται στα ανοικτά σύνολα γενικά και όχι στα ανοικτά διαστήματα.

Μία προσέγγιση είναι η εξής:

Αν $\displaystyle{A}$ είναι ένα ανοικτό σύνολο και $\displaystyle{x \in A}$ , τότε υπάρχει ανοικτό διάστημα $\displaystyle{I}$ με $\displaystyle{x \in I \subset A}$

Ορίζω στο $\displaystyle{A}$ μία σχέση ~ ως εξής $\displaystyle{ x}$ ~ $\displaystyle{y}$ υπάρχει ανοικτό διάστημα $\displaystyle{I}$ με $\displaystyle{x,y \in I \subset A}$

Εύκολα αποδεικνύεται ότι η παραπάνω σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας στο $\displaystyle{A}$

Αν $\displaystyle{[}$ ~ $\displaystyle{/x]}$ είναι η κλάση ισοδυναμίας που περιέχει το $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{\mathcal{R}}$ το σύνολο των κλάσεων

ισοδυναμίας, τότε:

1. Προφανώς το $\displaystyle{[}$ ~ $\displaystyle{/x]}$ είναι διάστημα

2. Τα διαστήματα $\displaystyle{[}$ ~ $\displaystyle{/x]}$ ή ταυτίζονται ή είναι ξένα μεταξύ τους και

3. $\displaystyle{\bigcup {\mathcal{R}}=A}$

Άρα το $\displaystyle{A}$ γράφεται ως ένωση ανοικτών διαστημάτων, που, επειδή είναι ξένα ανά δύο, το πλήθος τους είναι αριθμήσιμο.

Συμπλήρωση: Για το ότι το πλήθος των διαστημάτων που αναφέρονται πιο πάνω είναι αριθμήσιμο βλέπε εδώ

viewtopic.php?f=9&t=40189 και επειδή κάθε ένα διάστημα είναι αριθμήσιμη ένωση κλειστών διαστημάτων

(όπως έδειξε ο Κώστας), άρα και το $\displaystyle{A}$ γράφεται ως αριθμήσιμη ένωση κλειστών διαστημάτων( αριθμήσιμη ένωση αριθμησίμων συνόλων)

Γ.-Σ. Σμυρλής · #6

s.kap έγραψε: 1. Προφανώς το $\displaystyle{[}$ ~ $\displaystyle{/x]}$ είναι διάστημα

2. Τα διαστήματα $\displaystyle{[}$ ~ $\displaystyle{/x]}$ ή ταυτίζονται ή είναι ξένα μεταξύ τους και

3. $\displaystyle{\bigcup {\mathcal{R}}=A}$

Άρα το $\displaystyle{A}$ γράφεται ως ένωση ανοικτών διαστημάτων, που, επειδή είναι ξένα ανά δύο, το πλήθος τους είναι αριθμήσιμο.

Γιατί εἶναι τό πλῆθος τους ἀριθμήσιμο;

slash · #7

s.kap έγραψε:Νομίζω το πρόβλημα αναφέρεται στα ανοικτά σύνολα γενικά και όχι στα ανοικτά διαστήματα.

Mihalis_Lambrou έγραψε:Δείχνουμε τώρα ότι κάθε ανοικτό υποσύνολο του $\mathbb R$ γράφεται ως ξένη ένωση αριθμήσιμου πλήθους ανοικτών διαστημάτων. Η απόδειξη είναι απλή (αλλά όχι τετριμμένη) και βρίσκεται σε όλα τα βιβλία Τοπολογίας.
Μ.

Κάθε ανοιχτό υποσύνολο γράφεται σαν ένωση ξένων ανοιχτών διαστημάτων ( από τη συνήθη τοπολογική βάση των πραγματικών και το γεγονός ότι αν δύο ανοιχτά διαστήματα είχαν τομή τότε απλά τα αντικαθιστούμε από την ένωση τους). Διαλέγοντας έναν ρητό σε καθένα από αυτά τα διαστήματα καταλαβαίνουμε ότι το πλήθος τους είναι το πολύ αριθμήσιμο.

Σε αυτό το σημείο θέλω να κάνω μια ερώτηση μάλλον συνολο-θεωρητικής φύσης. Είναι σωστό το σημείο "αν δύο ανοιχτά διαστήματα είχαν τομή τότε απλά τα αντικαθιστούμε από την ένωση τους" ? Με είχαν απασχολήσει και σε άλλες περιπτώσεις παρόμοια ερωτήματα και δεν είμαι σίγουρος αν γνωρίζω την απάντηση. Διαισθητικά μου φαίνεται προφανές αλλά ίσως απαιτείται δικαιολόγηση μέσω του λήμματος του Zorn. Επειδή είναι ελαφρώς off-topic αν μπορεί κάποιος να μου απαντήσει σε pm.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #8

slash έγραψε:Σε αυτό το σημείο θέλω να κάνω μια ερώτηση μάλλον συνολο-θεωρητικής φύσης. Είναι σωστό το σημείο "αν δύο ανοιχτά διαστήματα είχαν τομή τότε απλά τα αντικαθιστούμε από την ένωση τους" ? Με είχαν απασχολήσει και σε άλλες περιπτώσεις παρόμοια ερωτήματα και δεν είμαι σίγουρος αν γνωρίζω την απάντηση. Διαισθητικά μου φαίνεται προφανές αλλά ίσως απαιτείται δικαιολόγηση μέσω του λήμματος του Zorn. Επειδή είναι ελαφρώς off-topic αν μπορεί κάποιος να μου απαντήσει σε pm.

Ἡ ἰδέα εἶναι μέν ὀρθή, ἀλλά ἡ ἀπαιτούμενη αὐστηροποίηση δέν εἶναι ἰδιαίτερα προφανής. Ὁ κομψότερος, κατά τήν γνώμη μου τρόπος εἶναι ὁ ἀκόλουθος. Ἔστω $A\subset\mathbb R$ ἀνοικτό. Ὁρίζομε στό

τήν ἑξῆς σχέση:

$\displaystyle{ a\sim b \,\,\Longleftrightarrow\,\, [a,b]\subset A. }$

Εὐκόλως ἀποδεικνύεται ὅτι αὐτή ἡ σχέση ἀποτελεῖ σχέση ἱσοδυναμίας. (Εἶναι ἀνακλαστική, συμμετρική καί μεταβατική.) Οἱ κλάσεις ἱσοδυναμίας εἶναι μεταξύ τους ξένες ἀνά δύο, καί ἑκάστη ἐξ αὐτῶν ἀποτελεῖ ἀνοικτό διάστημα. (Γιατί;) Κατ᾽ αὐτόν τόν τρόπο, γράφεται τό

ὡς ἕνωση ξένων ἀνά δύο ἀνοικτῶν διαστημάτων.

slash · #9

Πολύ πιο απλό και κομψό από αυτό που είχα στο μυαλό μου. Ευχαριστώ για την απάντηση.

Ανοικτά σύνολα 1

Ανοικτά σύνολα 1

Re: Ανοικτά σύνολα 1

Re: Ανοικτά σύνολα 1

Re: Ανοικτά σύνολα 1

Re: Ανοικτά σύνολα 1

Re: Ανοικτά σύνολα 1

Re: Ανοικτά σύνολα 1

Re: Ανοικτά σύνολα 1

Re: Ανοικτά σύνολα 1

Μέλη σε σύνδεση