Συναρτησιακή εξίσωση (κα)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(y)+f(x+f(y))= y+f(f(x)+f(y)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Τι γίνεται αν δεν υποθέσουμε ότι η

είναι συνεχής;

kostas_zervos · #2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(y)+f(x+f(y))= y+f(f(x)+f(y)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Τι γίνεται αν δεν υποθέσουμε ότι η είναι συνεχής;

Για την περίπτωση που η είναι συνεχής.
Για y=0

στην αρχική έχουμε $f(0)+f(x+f(0))=f(f(x)+f(0))\;\;\color{red}(1)$

Για x=0

, έχουμε $f(y)+f(f(y))=y+f(f(0)+f(y))\iff$

$\iff f(y)+f(f(y))-f(f(0)+f(y))=y\;\;\color{blue}(2)$ .

Έστω $x,y\in\Bbb{R}$ με f(x)=f(y)

.

Τότε

και $f(0)+f(x)=f(0)+f(y)\Rightarrow f(f(0)+f(x))=f(f(0)+f(y))$ .

Άρα $f(x)+f(f(x))-f(f(0)+f(x))= f(y)+f(f(y))-f(f(0)+f(y))\overset{\color{blue}(2)}{\Rightarrow} x=y$ και η

είναι

.

Αφού είναι συνεχής , θα είναι γνησίως μονότονη.

Αν είναι γνησίως φθίνουσα.
Έστω ότι f(0)>0

. Τότε για κάθε $y\in\Bbb{R}$ έχουμε
$f(0)+f(y)>f(y)\Rightarrow f(f(0)+f(y))<f(f(y))\Rightarrow$

$\Rightarrow f(f(0)+f(y))-f(f(y))<0\Rightarrow f(y)-y<0\Rightarrow f(y)<y\;\forall y\in\Bbb{R}$ , άρα για y=0: f(0)<0

ΑΤΟΠΟ.

Όμοια αν υποθέσουμε ότι f(0)<0

.

Άρα

. Τότε όμως από την $\color{red}(1)$ έχουμε $f(x)=f(f(x))\overset{(f\;1-1)}{\Rightarrow }f(x)=x\;\forall x\in\Bbb{R}$ ΑΤΟΠΟ αφού η

είναι γνησίως φθίνουσα.

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα.

Τότε η g(x)=f(x)+x

είναι γνησίως αύξουσα.

Αν f(0)=a

, τότε από τις $\color{red}(1)$ και $\color{blue}(2)$ έχουμε:

a+f(x+a)=f(f(x)+a)

και

.

Άρα $f(x)+f(f(x))=f(x+a)+x+a\iff g(f(x))=g(x+a)\overset{g\;1-1}{\iff}f(x)=x+a$ .

Άρα

που επαληθεύει την υπόθεση.

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=530729

Συναρτησιακή εξίσωση (κα)

Συναρτησιακή εξίσωση (κα)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κα)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κα)

Μέλη σε σύνδεση