Ανισότητα με μέτρα

kochris · #1

Για τους $a,b\in \mathbb{C}$ με |a|,|b| < 1

, νδο

$\dfrac{|a|-|b|}{1-|ab|} \leq \left|\dfrac{a-b}{1-\overline{a}b}\right| \leq \dfrac{|a|+|b|}{1+|ab|}.$

Δήμητρα · #2

Ας δούμε πρώτα τη δεξιά μεριά

Από τριγωνική ανισότητα θα έχω για τον αριθμιτή:

$|a-b|\leq |a|+|-b|=|a|+|b|$

και για τον παρονομαστή:

$|1-\bar{a}b|\leq 1+|\bar{a}b|=1+|\bar{a}||b|=1+|a||b|=1+|ab|$

διαιρώντας κατά μέλη, αφού είναι όλα θετικά, προκύπτει:

$\frac{|a-b|}{|1-\bar{ab}|}\leq \frac{|a|+|b|}{1+|ab|}$

Αντίστοιχα από την άλλη μεριά:

$||a|-|b||\leq |a-b|$
και
$|1-|ab||\leq |1-\bar{a}b|$

άρα:

$\frac{||a|-|b||}{|1-|ab||}\leq \frac{|a-b|}{|1-\bar{a}b|}$ $\Leftrightarrow$

$\frac{|a|-|b|}{1-|ab|}\leq \frac{|a-b|}{|1-\bar{a}b|}$
δηλαδή το ζητούμενο!!
Ευχαριστώ!!

drs75 · #3

Δήμητρα δεν διαιρούμε ποτέ ανισότητες κι ας είναι όλα θετικά.π.χ 2<3 , 4<9

αλλά $\displaystyle{\frac{2}{4}>\frac{3}{9}}$

Δήμητρα · #4

Θεε μου όντως τί σκεφτόμουν???!!!???

Ευχαριστώ πολύ

Θα ξανάπροσπαθήσω!!

kochris · #5

Επαναφορά

#6

Υψώνοντας στο τετράγωνο και χρησιμοποιώντας την

$|z_1-z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2-\overline{z_1}z_2-z_1\overline{z_2}$

για τους |a-b|^2

και $|1-\overline{a}b|^2$ διαπιστώνουμε ότι η ζητούμενη ανισότητα είναι ισοδύναμη προς την

$2|ab|(1-|a|^2)(1-|b|^2)\geq (\overline{a}b+a\overline{b})(1-|a|^2)(1-|b|^2)\geq -2|ab|(1-|a|^2)(1-|b|^2),$

άρα -- λόγω της υπόθεσης |a|<1

,

-- και προς την ισχύουσα

$|\overline{a}b+a\overline{b}|\leq 2|ab|.$

[Τα δύο λήμματα που χρησιμοποίησα στην αρχή και στο τέλος αποδεικνύονται εύκολα (αν δεν θεωρούνται γνωστά).]

Γιώργος Μπαλόγλου

Ανισότητα με μέτρα

Ανισότητα με μέτρα

Re: Ανισότητα με μέτρα

Re: Ανισότητα με μέτρα

Re: Ανισότητα με μέτρα

Re: Ανισότητα με μέτρα

Re: Ανισότητα με μέτρα

Μέλη σε σύνδεση