Σ.Μ.Α 1969 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Από την σχέση $\displaystyle{(1+\alpha \sigma \upsilon \nu x)(1-\alpha \sigma \upsilon \nu y)=1-\alpha^2 }$ , να δειχθεί οτι $\displaystyle{\frac{\displaystyle \varepsilon \phi^2 \left(\frac{x}{2}\right)}{\displaystyle \varepsilon \phi^2\left(\frac{y}{2}\right)}=\frac{1+\alpha}{1-\alpha}}$ .

2. Αν οι γωνίες τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής πρόοδος τότε έχουμε $\displaystyle{K=\frac{\eta\mu A+\eta\mu B +\eta\mu \Gamma}{\sigma\upsilon \nu A+\sigma\upsilon \nu B +\sigma\upsilon \nu \Gamma}=\sqrt3}$ . Να δειχθεί και το αντίστροφο.

3. Να δείξετε ότι $\displaystyle{A=\sigma\upsilon \nu \frac{\pi}{15}\sigma\upsilon \nu \frac{2\pi}{15}\sigma\upsilon \nu \frac{3\pi}{15}\sigma\upsilon \nu \frac{4\pi}{15}\sigma\upsilon \nu \frac{5\pi}{15}\sigma\upsilon \nu \frac{6\pi}{15}\sigma\upsilon \nu \frac{7\pi}{15}=\left(\frac{1}{2}\right)^7}$ .

4. Να δειχτεί οτι $\displaystyle{2\tau o \xi \varepsilon \phi \left(\varepsilon\phi \frac{\alpha}{2}\varepsilon\phi \frac{\theta}{2}\right)=\tau o \xi \sigma\upsilon \nu \left(\frac{\sigma\upsilon\nu \alpha +\sigma\upsilon\nu \theta }{1+\sigma\upsilon\nu \alpha \sigma\upsilon\nu \theta}\right)}$ .

5. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \varepsilon \phi x+\sigma\upsilon \nu x=\tau\varepsilon \mu x-\eta \mu x}$

Σημείωση για το 5ο : $\displaystyle{\tau\varepsilon \mu x=\frac{1}{\sigma\upsilon \nu x}}$

#2

parmenides51 έγραψε:

3. Να δείξετε ότι $\displaystyle{A=\sigma\upsilon \nu \frac{\pi}{15}\sigma\upsilon \nu \frac{2\pi}{15}\sigma\upsilon \nu \frac{3\pi}{15}\sigma\upsilon \nu \frac{4\pi}{15}\sigma\upsilon \nu \frac{5\pi}{15}\sigma\upsilon \nu \frac{6\pi}{15}\sigma\upsilon \nu \frac{7\pi}{15}=\left(\frac{1}{2}\right)^7}$ .

$\displaystyle{\begin{array}{l} {\rm A} = \frac{{\eta \mu \frac{{2\pi }}{{15}}}}{{2\eta \mu \frac{\pi }{{15}}}}\frac{{\eta \mu \frac{{4\pi }}{{15}}}}{{2\eta \mu \frac{{2\pi }}{{15}}}}\frac{{\eta \mu \frac{{6\pi }}{{15}}}}{{2\eta \mu \frac{{3\pi }}{{15}}}}\frac{{\eta \mu \frac{{8\pi }}{{15}}}}{{2\eta \mu \frac{{4\pi }}{{15}}}}\frac{{\eta \mu \frac{{10\pi }}{{15}}}}{{2\eta \mu \frac{{5\pi }}{{15}}}}\frac{{\eta \mu \frac{{12\pi }}{{15}}}}{{2\eta \mu \frac{{6\pi }}{{15}}}}\frac{{\eta \mu \frac{{14\pi }}{{15}}}}{{2\eta \mu \frac{{7\pi }}{{15}}}} = \\ \\ = \frac{1}{{2\eta \mu \frac{\pi }{{15}}}}\frac{1}{2}\frac{1}{{2\eta \mu \frac{{3\pi }}{{15}}}}\frac{{\eta \mu \frac{{7\pi }}{{15}}}}{2}\frac{{\eta \mu \frac{{5\pi }}{{15}}}}{{2\eta \mu \frac{{5\pi }}{{15}}}}\frac{{\eta \mu \frac{{3\pi }}{{15}}}}{2}\frac{{\eta \mu \frac{\pi }{{15}}}}{{2\eta \mu \frac{{7\pi }}{{15}}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^7} \\ \end{array}}$

#3

parmenides51 έγραψε: 2. Αν οι γωνίες τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής πρόοδος τότε έχουμε $\displaystyle{K=\frac{\eta\mu A+\eta\mu B +\eta\mu \Gamma}{\sigma\upsilon \nu A+\sigma\upsilon \nu B +\sigma\upsilon \nu \Gamma}=\sqrt3}$ . Να δειχθεί και το αντίστροφο.

Ουσιαστικά πρόκειται για το θέμα του W.J. Blundon, το οποίο συναντήσαμε εδώ.

Μάλιστα, στο σύνδεσμο φαίνεται ότι οι γωνίες είναι της μορφής $\displaystyle{60^o -x,60^o, 60^o+x.}$

kostas_zervos · #4

parmenides51 έγραψε: 4. Να δειχτεί οτι $\displaystyle{2\tau o \xi \varepsilon \phi \left(\varepsilon\phi \frac{\alpha}{2}\varepsilon\phi \frac{\theta}{2}\right)=\tau o \xi \sigma\upsilon \nu \left(\frac{\sigma\upsilon\nu \alpha +\sigma\upsilon\nu \theta }{1+\sigma\upsilon\nu \alpha \sigma\upsilon\nu \theta}\right)}$ .

Έστω $x=\tau o \xi \varepsilon \phi \left(\varepsilon\phi \dfrac{\alpha}{2}\varepsilon\phi \dfrac{\theta}{2}\right)$ .

Τότε $\epsilon\phi x=\varepsilon\phi \dfrac{\alpha}{2}\varepsilon\phi \dfrac{\theta}{2}$ .

Άρα $\sigma\upsilon\nu 2x=\dfrac{1-\epsilon\phi^2 x}{1+\epsilon\phi^2 x}=\dfrac{1-\varepsilon\phi^2 \dfrac{\alpha}{2}\varepsilon\phi^2 \dfrac{\theta}{2}}{1+\varepsilon\phi^2 \dfrac{\alpha}{2}\varepsilon\phi^2 \dfrac{\theta}{2}}=$

$=\dfrac{1-\dfrac{1-\sigma\upsilon\nu \alpha}{1+\sigma\upsilon\nu \alpha}\dfrac{1-\sigma\upsilon\nu \theta}{1+\sigma\upsilon\nu \theta}}{1+\dfrac{1-\sigma\upsilon\nu \alpha}{1+\sigma\upsilon\nu \alpha}\dfrac{1-\sigma\upsilon\nu \theta}{1+\sigma\upsilon\nu \theta}}=\cdots=\dfrac{\sigma\upsilon\nu \alpha+\sigma\upsilon\nu \theta}{1+\sigma\upsilon\nu \alpha\sigma\upsilon\nu \theta}$ .

Άρα $2x=\tau o \xi \sigma\upsilon \nu \left(\dfrac{\sigma\upsilon\nu \alpha +\sigma\upsilon\nu \theta }{1+\sigma\upsilon\nu \alpha \sigma\upsilon\nu \theta}\right)}\iff 2\tau o \xi \varepsilon \phi \left(\varepsilon\phi \dfrac{\alpha}{2}\varepsilon\phi \dfrac{\theta}{2}\right)=\tau o \xi \sigma\upsilon \nu \left(\dfrac{\sigma\upsilon\nu \alpha +\sigma\upsilon\nu \theta }{1+\sigma\upsilon\nu \alpha \sigma\upsilon\nu \theta}\right)}$

#5

parmenides51 έγραψε: 5. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{ \varepsilon \phi x+\sigma\upsilon \nu x=\tau\varepsilon \mu x-\eta \mu x}$

Με $\displaystyle{\,\,\,\,\sigma \upsilon \nu \chi \ne 0 \Leftrightarrow \chi \ne \kappa \pi + \frac{\pi }{2}\,\,,\,\,\kappa \in {\rm Z}\,\,\,}$ , έχουμε :
$\displaystyle{\begin{array}{l} \varepsilon \phi x + \sigma \upsilon \nu x = \tau \varepsilon \mu x - \eta \mu x \Leftrightarrow \frac{{\eta \mu \chi }}{{\sigma \upsilon \nu \chi }} + \sigma \upsilon \nu \chi = \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu \chi }} - \eta \mu \chi \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \eta \mu \chi + \sigma \upsilon {\nu ^2}\chi = 1 - \eta \mu \chi \sigma \upsilon \nu \chi \Leftrightarrow \eta \mu \chi + 1 - \eta {\mu ^2}\chi - 1 + \eta \mu \chi \sigma \upsilon \nu \chi = 0 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \eta \mu \chi - \eta {\mu ^2}\chi + \eta \mu \chi \sigma \upsilon \nu \chi = 0 \Leftrightarrow \eta \mu \chi (1 - \eta \mu \chi + \sigma \upsilon \nu \chi ) = 0 \Leftrightarrow \\ \\ \eta \mu \chi = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 - \eta \mu \chi + \sigma \upsilon \nu \chi = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \\ (1) \Leftrightarrow \chi = \kappa \pi \,\,,\kappa \in {\rm Z} \\ \end{array}}$ (δεκτή )
$\displaystyle{\begin{array}{l} (2) \Leftrightarrow 1 + \sigma \upsilon \nu \chi = \eta \mu \chi \mathop \Leftrightarrow \limits^{\eta \mu \chi \ge 0} {\left( {1 + \sigma \upsilon \nu \chi } \right)^2} = \eta {\mu ^2}\chi \Leftrightarrow 1 + 2\sigma \upsilon \nu \chi + \sigma \upsilon {\nu ^2}\chi = \eta {\mu ^2}\chi \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow 1 + 2\sigma \upsilon \nu \chi + \sigma \upsilon {\nu ^2}\chi - \eta {\mu ^2}\chi = 0 \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon \nu \chi (1 + \sigma \upsilon \nu \chi ) = 0 \Leftrightarrow \ \\ \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \chi = 0\,\,\, \\ \end{array}}$
(απορρ.)
ή $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,\sigma \upsilon \nu \chi = - 1 \Leftrightarrow \chi = 2\kappa \pi + \pi \,\,\,,\,\,{\rm{\kappa }} \in {\rm{{\rm Z}}}\,\,\,\,}$ (δεκτή)
Τελικά
$\displaystyle{\,\,{\rm{\chi = \kappa \pi }}\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,\,{\rm{\chi = 2\kappa \pi + \pi }}\,\,\,,\,\kappa \in {\rm Z} \Leftrightarrow \chi = \lambda \pi \,\,\,,\,\,\lambda \in {\rm Z}}$

#6

parmenides51 έγραψε:1. Από την σχέση $\displaystyle{(1+\alpha \sigma \upsilon \nu x)(1-\alpha \sigma \upsilon \nu y)=1-\alpha^2 }$ , να δειχθεί οτι $\displaystyle{\frac{\displaystyle \varepsilon \phi^2 \left(\frac{x}{2}\right)}{\displaystyle \varepsilon \phi^2\left(\frac{y}{2}\right)}=\frac{1+\alpha}{1-\alpha}}$ .

Για $\displaystyle{\,\,\,\,\alpha = 0\,\,\,\,}$ ισχύει .
Υποθέτουμε ότι : $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,\alpha \ne 0,\alpha \ne 1,x \ne 2{\rm{\kappa \pi + \pi }}{\rm{,y}} \ne {\rm{\kappa \pi }}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} (1 + \alpha \sigma \upsilon \nu x)(1 - \alpha \sigma \upsilon \nu y) = 1 - {\alpha ^2} \Leftrightarrow 1 + \alpha \sigma \upsilon \nu x - \alpha \sigma \upsilon \nu y - {\alpha ^2}\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y - 1 + {\alpha ^2} = 0 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \alpha (\sigma \upsilon \nu x - \sigma \upsilon \nu y - \alpha \sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y + \alpha ) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\alpha \ne 0} \sigma \upsilon \nu x - \sigma \upsilon \nu y - \alpha \sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y + \alpha = 0 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \alpha (1 - \sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y) + (\sigma \upsilon \nu x - \sigma \upsilon \nu y) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \end{array}}$

$\displaystyle{\frac{{\varepsilon {\phi ^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)}}{{\varepsilon {\phi ^2}\left( {\frac{y}{2}} \right)}} = \frac{{1 + \alpha }}{{1 - \alpha }} \Leftrightarrow \left( {1 - {\rm{\alpha }}} \right)\varepsilon {\phi ^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) = (1 + \alpha )\varepsilon {\phi ^2}\left( {\frac{y}{2}} \right) \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\begin{array}{l} \Leftrightarrow (1 - {\rm{\alpha )}}\frac{{1 - \sigma \upsilon \nu x}}{{1 + \sigma \upsilon \nu x}} = (1 + \alpha )\frac{{1 - \sigma \upsilon \nu y}}{{1 + \sigma \upsilon \nu y}} \Leftrightarrow (1 - \alpha )(1 - \sigma \upsilon \nu x)(1 + \sigma \upsilon \nu y) = (1 + \alpha )(1 + \sigma \upsilon \nu x)(1 - \sigma \upsilon \nu y) \Leftrightarrow \\ \\ (1 - \alpha )(1 - \sigma \upsilon \nu x + \sigma \upsilon \nu y - \sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y) = (1 + \alpha )(1 + \sigma \upsilon \nu x - \sigma \upsilon \nu y - \sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y) \Leftrightarrow \\ \\ (1 - \alpha )(1 - \sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y) - (1 - \alpha )(\sigma \upsilon \nu x - \sigma \upsilon \nu y) = (1 + \alpha )(1 - \sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y) + (1 + \alpha )(\sigma \upsilon \nu x - \sigma \upsilon \nu y) \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow (1 - \sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y)(1 - \alpha - 1 - \alpha ) - (\sigma \upsilon \nu x - \sigma \upsilon \nu y)(1 - \alpha + 1 + \alpha ) = 0 \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow - 2\alpha (1 - \sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y) - 2(\sigma \upsilon \nu x - \sigma \upsilon \nu y) = 0 \Leftrightarrow \alpha (1 - \sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y) + (\sigma \upsilon \nu x - \sigma \upsilon \nu y) = 0 \\ \end{array}}$
ηοποία ισχύει λόγω της (1)

Σ.Μ.Α 1969 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Σ.Μ.Α 1969 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α 1969 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α 1969 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α 1969 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α 1969 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α 1969 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση