Τριγωνομετρικό θέμα από Κανέλλο (2)

#1

Ας προσδιορισθούν οι αριθμοί $\alpha,\beta,\gamma$ ώστε η παράσταση $(1+\eta\mu\theta)(3\eta\mu\theta+4\sigma\upsilon\nu\theta+5)$ να ταυτίζεται με την $(\alpha \eta\mu\theta+\beta\sigma\upsilon\nu\theta+\gamma)^{2}$ .

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αλέξανδρος

Α.Κυριακόπουλος · #3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Ας προσδιορισθούν οι αριθμοί $\alpha,\beta,\gamma$ ώστε η παράσταση $(1+\eta\mu\theta)(3\eta\mu\theta+4\sigma\upsilon\nu\theta+5)$ να ταυτίζεται με την $(\alpha \eta\mu\theta+\beta\sigma\upsilon\nu\theta+\gamma)^{2}$ .

Σχόλιο για τους συναδέλφους. Η άσκηση αυτή είναι κατάλληλη για να διδάξουμε στα παιδιά πώς εργαζόμαστε για να βρούμε ένα ή περισσότερα μαθηματικά αντικείμενα. Αυτός είναι ο μοναδικός λόγος που παραθέτω τη λύση με τις απαραίτητες λεπτομέρειες.
Λύση.
Έστω ότι για τρεις πραγματικούς αριθμούς α, β και γ ισχύει:
${(\alpha \eta \mu \theta + \beta \sigma \upsilon \nu \theta + \gamma )^2} = (1 + \eta \mu \theta )(3\eta \mu \theta + 4\sigma \upsilon \nu \theta + 5)$ (1)
για κάθε $\theta \in R.$ Από την (1) με $\theta = - \frac{\pi }{2},\theta = 0,\theta = \frac{\pi }{2}$ και θ = π, βρίσκουμε:
${( - \alpha + \gamma )^2} = 0,{\rm{ (}}\beta {\rm{ + }}\gamma {{\rm{)}}^2} = 9,{\rm{ (}}\alpha {\rm{ + }}\gamma {{\rm{)}}^2} = 16{\rm{ }}\kappa \alpha \iota {\rm{ (}}\gamma {\rm{ - }}\beta {{\rm{)}}^2} = 1$ .
Από της ισότητας αυτές, όπως βρίσκουμε εύκολα ,έπεται ότι:(α=2, β=1, γ=2) ή (α=-2, β=-1, γ=-2).
Σχόλιο για τους μαθητές. Θα νόμιζε κανένας ότι τελειώσαμε και ότι αυτοί είναι οι ζητούμενοι αριθμοί. Για σκεφτείτε όμως, από τα παραπάνω προκύπτει από πουθενά ότι για αυτούς τους αριθμούς ισχύει η ισότητα (1); Και βέβαια όχι. Δηλαδή, θα μπορούσε για αυτούς τους αριθμούς να μην ισχύει η ισότητα (1); Φυσικά , αφού δεν το έχουμε αποδείξει. Στα μαθηματικά ισχύει μόνο ότι αποδεικνύουμε. Γι' αυτό, σε τέτοιες περιπτώσεις( δηλαδή, όταν δεν διατηρούμε τις ισοδυναμίες) είναι απαραίτητο να εξετάζουμε και το αντίστροφο( βλ.ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, παράγραφος 3.2, φάκελος του καθηγητή).
Αντιστρόφως. Όπως βρίσκουμε εύκολα, μετά από μερικές πράξεις, και για τις δύο τριάδας αριθμών που βρήκαμε ισχύει η ισότητα (1)( Τώρα μπορούμε να πούμε με σιγουριά:)
Άρα, αυτές οι δύο τριάδες είναι οι ζητούμενοι αριθμοί.
Σημείωση . Δώσαμε 4 τιμές στο θ για να βρούμε ευκολότερα τις δύο τριάδες.

#4

Καλημέρα. Μια απορία μου θέλω να εκφράσω.Πρέπει να πληροφορήσουμε το λύτη, πως η δοθείσα σχέση
αληθεύει για κάθε θ , ή δεν πρέπει;;

Υ.Γ: Διόρθωσα ένα εκφραστικό μου λάθος

Μάκης Χατζόπουλος · #5

Εγώ έφτασα στα ίδια αποτελέσματα με τον κο Κυριακόπουλο, κάνοντας κανονικά τις πράξεις και παίρνοντας ισότητα των αντίστοιχων συντελεστών, απλά κατέληξα στο σύστημα:

$\alpha ^2-\beta ^2=3$
αβ=2
αγ=4
βγ=2
$\beta ^2+\gamma ^2=5$

Αυτός ο τρόπος επίλυσης, θέλει επαλήθευση;

#6

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Εγώ έφτασα στα ίδια αποτελέσματα με τον κο Κυριακόπουλο, κάνοντας κανονικά τις πράξεις και παίρνοντας ισότητα των αντίστοιχων συντελεστών, απλά κατέληξα στο σύστημα:

$\alpha ^2-\beta ^2=3$
αβ=2
αγ=4
βγ=2
$\beta ^2+\gamma ^2=5$

Αυτός ο τρόπος επίλυσης, θέλει επαλήθευση;

καλημέρα. θα μπορούσες να παρουσιάσεις λίγο αναλυτικότερα τη λύση σου; τους συντελεστές ποιών ποσοτήτων εξισώνεις;

#7

chris_gatos έγραψε:Καλημέρα. Μια απορία μου θέλω να εκφράσω. Δεν πρέπει να πληροφορήσουμε το λύτη, πως η δοθείσα σχέση
αληθεύει για κάθε θ , ή δεν πρέπει;;

καλημέρα χρήστο. Νομίζω πως αυτό καλύπτεται από το "ταυτίζονται".

Μάκης Χατζόπουλος · #8

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Εγώ έφτασα στα ίδια αποτελέσματα με τον κο Κυριακόπουλο, κάνοντας κανονικά τις πράξεις και παίρνοντας ισότητα των αντίστοιχων συντελεστών, απλά κατέληξα στο σύστημα:

$\alpha ^2-\beta ^2=3$
αβ=2
αγ=4
βγ=2
$\beta ^2+\gamma ^2=5$

Αυτός ο τρόπος επίλυσης, θέλει επαλήθευση;

Έχουμε,
$(\alpha \eta \mu \theta + \beta \sigma \upsilon \nu \theta + \gamma )^2 = (1 + \eta \mu \theta )(3\eta \mu \theta + 4\sigma \upsilon \nu \theta + 5)$
μετά από πράξεις και την αντικατάσταση όπου $\sigma \upsilon \nu ^2\vartheta =1-\eta \mu ^2\theta$ παίρνουμε:
$3\eta \mu ^2\theta +4\eta \mu \theta \cdot \sigma \upsilon \nu \theta +8\eta \mu \theta +4\sigma \upsilon \nu \theta +5=(\alpha ^2-\beta ^2)\eta \mu ^2\theta +2\alpha \beta \eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta +2\alpha \gamma \eta \mu \theta +2\beta \gamma \sigma \upsilon \nu \theta +\gamma ^2+\beta ^2$

#9

Οκ, αν και η δική μου άποψη είναι πως θα έπρεπε να αναφέρεται...

Α.Κυριακόπουλος · #10

chris_gatos έγραψε:Καλημέρα. Μια απορία μου θέλω να εκφράσω.Πρέπει να πληροφορήσουμε το λύτη, πως η δοθείσα σχέση
αληθεύει για κάθε θ , ή δεν πρέπει;;

Αγαπητέ Χρήστο. Και βέβαια πρέπει να γράφουμε για κάθε $\theta \in R$ , γιατί διαφορετικά θα πρέπει να το υπονοούμε που είναι χειρότερα, γιατί μπορεί να προκύψουν παρερμηνείες. Όπως είναι διατυπωμένη η άσκηση δεν είναι λάθος, γιατί το «ταυτίζεται» σημαίνει « για κάθε $\theta \in R$ ». Επειδή όμως οι μαθητές ίσως να μην το γνωρίζουν, η γνώμη μου είναι ότι θα ήταν καλύτερα να ήταν διατυπωμένη με το «για κάθε….».
Σχόλιο. Με τον αείμνηστο ΣΠΥΡΟ ΚΑΝΕΛΛΟ συνεργάστηκα 15 χρόνια στα φροντιστήρια. Πρέπει να πω ότι ήταν ένας από τους καλύτερους μαθηματικούς που γνώρισα στη ζωή μου.

Τριγωνομετρικό θέμα από Κανέλλο (2)

Τριγωνομετρικό θέμα από Κανέλλο (2)

Re: Τριγωνομετρικό θέμα από Κανέλλο (2)

Re: Τριγωνομετρικό θέμα από Κανέλλο (2)

Re: Τριγωνομετρικό θέμα από Κανέλλο (2)

Re: Τριγωνομετρικό θέμα από Κανέλλο (2)

Re: Τριγωνομετρικό θέμα από Κανέλλο (2)

Re: Τριγωνομετρικό θέμα από Κανέλλο (2)

Re: Τριγωνομετρικό θέμα από Κανέλλο (2)

Re: Τριγωνομετρικό θέμα από Κανέλλο (2)

Re: Τριγωνομετρικό θέμα από Κανέλλο (2)

Μέλη σε σύνδεση