KATEΕ 1976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝ.ΤΡΟΦΙΜ. & ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

parmenides51 · #1

ΚΑΤΕΕ = Κέντρα Ανωτέρας Τεχνικής και Επαγγελματικής Εκπαίδευσης

Τεχνολόγων Τροφίμων και Τεχνολόγων Γεωπονίας

1. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{\frac{x}{x-1}<\frac{1}{x+1}}$

2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{(x^2-3x)^2-6x+2x^2=0}$

3. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y} =3 \\ 2(x-y)=7(\sqrt[3]{x^2y}-\sqrt[3]{xy^2}) \end{cases} }$

Υ.Γ. Το 1ο θέμα έπεσε και στις εξετάσεις ΚΑΤΕΕ των Στελεχών Επιχειρήσεων του ίδιου έτους (σχετικά).

edit
μετονομασία τίτλου από KATEΕ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΕΧΝ.ΤΡΟΦΙΜ. & ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ σε KATEΕ 1976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝ.ΤΡΟΦΙΜ. & ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

Αποστόλης · #2

parmenides51 έγραψε:ΚΑΤΕΕ = Κέντρα Ανωτέρας Τεχνικής και Επαγγελματικής Εκπαίδευσης

Τεχνολόγων Τροφίμων και Τεχνολόγων Γεωπονίας

2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{(x^2-3x)^2-6x+2x^2=0}$
λύση

$\displaystyle{(x^2-3x)^2-2(3x-x^2)=0}$

$\displaystyle{(x^2-3x)^2+2(x^2-3x)=0}$

$\displaystyle{(x^2-3x)[x^2-3x+2]=0}$

$\displaystyle{(x^2-3x)[x^2-2x-x+2]=0}$

$\displaystyle{(x^2-3x)[x(x-2)-(x-2)]=0}$

$\displaystyle{(x^2-3x)[(x-2)(x-1)]}$

το $\displaystyle{x^2-3x}$

$\displaystyle{x^2-4x+x+4-4}$

$\displaystyle{(x-2)^2(x-4)}$
και συνεχιζει απο το προηγουμενο
$\displaystyle{(x-2)[x-2+x-4+x-1]}$

$\displaystyle{(x-2)(3x-7)}$

#3

Αποστόλης έγραψε:
parmenides51 έγραψε:ΚΑΤΕΕ = Κέντρα Ανωτέρας Τεχνικής και Επαγγελματικής Εκπαίδευσης

Τεχνολόγων Τροφίμων και Τεχνολόγων Γεωπονίας

2. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{(x^2-3x)^2-6x+2x^2=0}$
λύση

$\displaystyle{(x^2-3x)^2-2(3x-x^2)=0}$

$\displaystyle{(x^2-3x)^2+2(x^2-3x)=0}$

$\displaystyle{(x^2-3x)[x^2-3x+2]=0}$

$\displaystyle{(x^2-3x)[x^2-2x-x+2]=0}$

$\displaystyle{(x^2-3x)[x(x-2)-(x-2)]=0}$

$\displaystyle{(x^2-3x)[(x-2)(x-1)]}$

το $\displaystyle{x^2-3x}$

$\displaystyle{x^2-4x+x+4-4}$

$\displaystyle{(x-2)^2(x-4)}$
και συνεχιζει απο το προηγουμενο
$\displaystyle{(x-2)[x-2+x-4+x-1]}$

$\displaystyle{(x-2)(3x-7)}$

$\displaystyle{(x^2-3x)[x(x-2)-(x-2)]=0}$

Μέχρι εδώ ωραία. Κοίτα την συνέχεια:

$\displaystyle{x(x-3)(x-2)(x-1)=0 \Leftrightarrow x=0}$ , ή $\displaystyle{x=3}$ , ή $\displaystyle{x=2}$ , ή $\displaystyle{x=1}$

hlkampel · #4

parmenides51 έγραψε:3. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y} =3 \\ 2(x-y)=7(\sqrt[3]{x^2y}-\sqrt[3]{xy^2}) \end{cases} }$

Με $x \ge 0$ , $y \ge 0$ θέτοντας $\sqrt[3]{x} = w \Leftrightarrow x = {w^3}$ και $\sqrt[3]{y} = z \Leftrightarrow y = {z^3}$ με $w,z \ge 0$ οι εξισώσεις του συστήματος ισοδύναμα γίνονται:

$\left\{ \begin{array}{l} w - z = 3\quad \left( 1 \right)\\ 2\left( {{w^3} - {z^3}} \right) = 7\left( {{w^2}z - w{z^2}} \right)\;\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Η $\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2\left( {w - z} \right)\left( {{w^2} + wz + {z^2}} \right) = 7wz\left( {w - z} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{:\left( {w - z} \right) = 3 \ne 0}$

$\displaystyle 2{w^2} - 5wz + 2{z^2} = 0 \Leftrightarrow {w^2} - 2wz + {z^2} - \frac{1}{2}wz = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle {\left( {w - z} \right)^2} - \frac{1}{2}wz = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{w - z = 3} \frac{1}{2}wz = 9 \Leftrightarrow wz = 18\;\left( 3 \right)$

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} w - z = 3\\ wz = 18 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} w = z + 3\\ {z^2} + 3z - 18 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} w = z + 3\\ z = 3\;\dot \eta \;z = - 6\;\left( {\alpha \pi o\rho \rho \dot \iota \pi \tau \varepsilon \tau \alpha \iota } \right) \end{array} \right.}$

Με z = 3

είναι

Έτσι $w = 6 \Leftrightarrow x = {6^3} = 216$ και $z = 3 \Leftrightarrow y = {3^3} = 27$ τιμές οι οποίες ικανοποιούν τις εξισώσεις του συστήματος.

Άρα $\left( {x,y} \right) = \left( {216,27} \right)$

Σημείωση: Αν δεν κάνω λάθος, την εποχή εκείνη σε υπόρριζη ποσότητα ρίζας περιττής τάξης δεν υπήρχε ο περιορισμός να είναι μη αρνητικός.

Σε περίπτωση που ίσχυε κάτι τέτοιο, τότε χωρίς τους αρχικούς περιορισμούς, δεχόμαστε και το z = - 6

οπότε

Έτσι

και

. Δηλαδή το σύστημα έχει και δεύτερη λύση την $\left( {x,y} \right) = \left( { - 27, - 216} \right)$

#5

hlkampel έγραψε:
parmenides51 έγραψε:3. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y} =3 \\ 2(x-y)=7(\sqrt[3]{x^2y}-\sqrt[3]{xy^2}) \end{cases} }$

Σημείωση: Αν δεν κάνω λάθος, την εποχή εκείνη σε υπόρριζη ποσότητα ρίζας περιττής τάξης δεν υπήρχε ο περιορισμός να είναι μη αρνητικός.

Nαι Ηλία,δεν υπήρχε πράγματι ο περιορισμός που αναφέρεις. Αυτό έγινε στις αρχές της δεκαετίας του 1980 , με αρκετές
αντιρρήσεις από μαθηματικούς της τότε εποχής.

parmenides51 · #6

hlkampel έγραψε: ...
Σημείωση: Αν δεν κάνω λάθος, την εποχή εκείνη σε υπόρριζη ποσότητα ρίζας περιττής τάξης δεν υπήρχε ο περιορισμός να είναι μη αρνητικός.

...

Δεν κάνεις λάθος

#7

parmenides51 έγραψε:ΚΑΤΕΕ = Κέντρα Ανωτέρας Τεχνικής και Επαγγελματικής Εκπαίδευσης

Τεχνολόγων Τροφίμων και Τεχνολόγων Γεωπονίας

1. Να λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{\frac{x}{x-1}<\frac{1}{x+1}}$

Κατ' αρχήν $\displaystyle{x \ne \pm 1}$

$\displaystyle{\frac{x}{{x - 1}} < \frac{1}{{x + 1}} \Leftrightarrow \frac{x}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + x - x + 1}}{{{x^2} - 1}} < 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow {x^2} < 1 \Leftrightarrow \left| x \right| < 1 \Leftrightarrow - 1 < x < 1}$

KATEΕ 1976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝ.ΤΡΟΦΙΜ. & ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

KATEΕ 1976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝ.ΤΡΟΦΙΜ. & ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

Re: KATEΕ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΕΧΝ.ΤΡΟΦΙΜ. & ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

Re: KATEΕ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΕΧΝ.ΤΡΟΦΙΜ. & ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

Re: KATEΕ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΕΧΝ.ΤΡΟΦΙΜ. & ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

Re: KATEΕ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΕΧΝ.ΤΡΟΦΙΜ. & ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

Re: KATEΕ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΕΧΝ.ΤΡΟΦΙΜ. & ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

Re: KATEΕ 1976 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΕΧΝ.ΤΡΟΦΙΜ. & ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ

Μέλη σε σύνδεση