ΙΚΑΡΩΝ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Από το ένα από τα σημεία τομής δυο κύκλων κέντρων $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{ \Lambda}$ να αχθεί τέμνουσα τους, που να έχει το σημείο αυτό ως μέσον.

2. Στο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ φέρνουμε την διάμεσο $\displaystyle{A\Delta}$ και τις διχοτόμους $\displaystyle{\Delta E}$ και $\displaystyle{\Delta Z}$ των γωνιών $\displaystyle{\widehat{A\Delta B}}$ και $\displaystyle{\widehat{A\Delta \Gamma}}$ αντίστοιχα, οι οποίες τέμνουν τις πλευρές $\displaystyle{ AB}$ και $\displaystyle{A\Gamma}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ . Να αποδειχθεί οτι η $\displaystyle{EZ}$ είναι παράλληλη προς την $\displaystyle{B\Gamma}$ .

3. Δυο κύκλοι $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{\Lambda }$ μεταβλητών ακτίνων εφάπτονται μεταξύ τους στο σημείο $\displaystyle{M}$ κι εφάπτονται δοθείσης ευθείας στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{ B}$ αντίστοιχα. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου $\displaystyle{M}$ .

4. Πάνω στην πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ να βρεθεί σημείο $\displaystyle{M}$ , τέτοιο ώστε η διαφορά των αποστάσεων του από τις δυο άλλες πλευρές να ισούται με το μήκος $\displaystyle{\mu}$ δοθέντος ευθυγράμμου τμήματος.

5. Να κατασκευαστεί κυρτό τετράπλευρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με γνωστές τις διαγωνίους του $\displaystyle{A\Gamma=\alpha}$ και $\displaystyle{B\Delta=\beta}$ , την γωνία τους $\displaystyle{\omega}$ και δυο απέναντι γωνίες, έστω τις $\displaystyle{\widehat{AB\Gamma}=\phi , \widehat{A\Delta\Gamma}=\theta}$ .

Υ.Γ. Την χρονιά 1972 στο σχετικό Δελτίο του Πάλλα δεν περιλαμβάνονται θέματα Τριγωνομετρίας στις σχολές Ικάρων και ΣΜΑ, στα οποία λογικά εξετάστηκαν. Αν κάποιος τα έχει από άλλη πηγή, θα χαιρόμασταν ιδιαίτερα εαν τα μετέφερε -για λόγους πληρότητας- εδώ στο

.

edit's
προσθήκη των θεμάτων 3,4,5 κι αφαίρεση του ενός υστερογράφου

#2

parmenides51 έγραψε: Υ.Γ. 1. Μου φαίνεται λίγο ύποπτο, που έχει μόνο 2 θέματα στο σχετικό Δελτίο του Πάλλα, συνήθως είχε 4 ή 5. Μήπως τους ξέφυγε κάποιο θέμα; Ας το κοιτάξει όποιος έχει άλλη πηγή.

Εμένα μου φαίνεται λίγο ύποπτο το πόσο εύκολα θέματα είναι για Σχολή Ικάρων.

parmenides51 · #3

george visvikis έγραψε:
parmenides51 έγραψε: Υ.Γ. 1. Μου φαίνεται λίγο ύποπτο, που έχει μόνο 2 θέματα στο σχετικό Δελτίο του Πάλλα, συνήθως είχε 4 ή 5. Μήπως τους ξέφυγε κάποιο θέμα; Ας το κοιτάξει όποιος έχει άλλη πηγή.
Εμένα μου φαίνεται λίγο ύποπτο το πόσο εύκολα θέματα είναι για Σχολή Ικάρων.

βρήκα και τα υπόλοιπα 3 θέματα και τα ανέβασα

το μυστήριο λύθηκε, τα παραπάνω 2 θέματα ήταν εύκολα επειδή τα επόμενα ήταν ένας γεωμετρικός τόπος και δυο κατασκευές

ήθελαν να χαρούν λιγάκι οι εξεταζόμενοι, μην απογοητευτούν με το καλημέρα

#4

parmenides51 έγραψε: 3. Δυο κύκλοι $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{\Lambda }$ μεταβλητών ακτίνων εφάπτονται μεταξύ τους στο σημείο $\displaystyle{M}$ κι εφάπτονται δοθείσης ευθείας στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{ B}$ αντίστοιχα. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου $\displaystyle{M}$ .

Καλημέρα!

: Ικάρων 1972.png (15.55 KiB) Προβλήθηκε 1356 φορές

Ευθύ: Φέρνω την κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων που τέμνει την

στο σημείο

. Είναι

, άρα το τρίγωνο MAB

είναι ορθογώνιο. Το σημείο

βλέπει το σταθερό ευθύγραμμο τμήμα

υπό γωνία ορθή. Θα πρέπει λοιπόν να βρίσκεται σε κύκλο διαμέτρου

.

Αντίστροφο: Έστω σημείο

του κύκλου διαμέτρου

. Θα δείξω ότι υπάρχουν κύκλοι που εφάπτονται στην

στα σημεία

,

αντίστοιχα και μεταξύ τους στο σημείο

.

: Ικάρων 1972.2png.png (14.85 KiB) Προβλήθηκε 1356 φορές

Φέρνω τη εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο

και από τα σημεία

,

φέρνω τις κάθετες στην

που τέμνουν την εφαπτομένη στα σημεία

και $\Lambda$ αντίστοιχα. Στη συνέχεια γράφω τους κύκλους (K, KA)

και $(\Lambda,\Lambda B)$ . Οι κύκλοι από κατασκευής εφάπτονται της

στα σημεία

και

.
Εξάλλου, είναι KM=KA

και $\Lambda M=\Lambda B$ . Η διάκεντρος λοιπόν των κύκλων είναι ίση με το άθροισμα των ακτίνων τους, άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο

.

Επομένως, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος διαμέτρου

.

ΙΚΑΡΩΝ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΙΚΑΡΩΝ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1972 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση