ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1978 - ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Για ποιες τιμές της παραμέτρου $\displaystyle{\lambda}$ η εξίσωση $\displaystyle{x^2-3x+\lambda^2-4\lambda +3=0}$ έχει ρίζες ετερόσημες;
Να βρεθεί ποια από τις δυο ρίζες είναι κατ' απολύτη τιμή μεγαλύτερη της άλλης.

2. Εαν $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να δείξετε οτι $\displaystyle{\alpha^2\beta^2\gamma^2\left(\frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}+\frac{1}{\gamma^3}\right)=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}$

3. Να βρεθεί η συνθήκη ώστε η παράσταση $\displaystyle{y=\frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}}$ όπου $\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma,\delta}$ ρητοί και $\displaystyle{x }$ άρρητος, να είναι ρητή.

#2

parmenides51 έγραψε:1. Για ποιες τιμές της παραμέτρου $\displaystyle{\lambda}$ η εξίσωση $\displaystyle{x^2-3x+\lambda^2-4\lambda +3=0}$ έχει ρίζες ετερόσημες;
Να βρεθεί ποια από τις δυο ρίζες είναι κατ' απολύτη τιμή μεγαλύτερη της άλλης.

Για να έχει η εξίσωση ετερόσημες ρίζες θα πρέπει $\displaystyle{{x_1}{x_2} = {\lambda ^2} - 4\lambda + 3 < 0 \Leftrightarrow 1 < \lambda < 3}$

Επειδή όμως $\displaystyle{{x_1} + {x_2} = 3 > 0}$ , η θετική ρίζα έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

kleovoulos · #3

2. Εαν $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να δείξετε οτι $\displaystyle{\alpha^2\beta^2\gamma^2\left(\frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}+\frac{1}{\gamma^3}\right)=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}$

Μια προσπάθεια πριν πέσω για ύπνο.
Έστω $\rm k$ ο λόγος της γεωμετρικής προόδου. Τότε θα ισχύει $\rm b=ka, c=k^2a$ . Αντικαθιστώντας στη δοσμένη έχω:
$\rm a^2k^2a^2k^4a^2(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{k^3a^3} + \frac{1}{k^6a^3}=a^6k^6 \frac{k^6+k^3+1}{k^6a^3}=a^3k^6+a^3k^3+a^3=a^3+(ak)^3+(ak^2)^3=a^3+b^3+c^3$ και αποδείχθηκε.

#4

parmenides51 έγραψε:
2. Εαν $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να δείξετε οτι $\displaystyle{\alpha^2\beta^2\gamma^2\left(\frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}+\frac{1}{\gamma^3}\right)=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3}$

Είναι $\displaystyle{{\beta ^2} = \alpha \gamma }$

$\displaystyle{{\alpha ^2}{\beta ^2}{\gamma ^2}\left( {\frac{1}{{{\alpha ^3}}} + \frac{1}{{{\beta ^3}}} + \frac{1}{{{\gamma ^3}}}} \right) = \frac{{{\alpha ^3}{\gamma ^3}}}{{{\alpha ^3}}} + \frac{{{\beta ^6}}}{{{\beta ^3}}} + \frac{{{\alpha ^3}{\gamma ^3}}}{{{\gamma ^3}}} = {\alpha ^3} + {\beta ^3} + {\gamma ^3}}$

#5

parmenides51 έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 12, 2013 9:55 pm
3. Να βρεθεί η συνθήκη ώστε η παράσταση $\displaystyle{y=\frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}}$ όπου $\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma,\delta}$ ρητοί και $\displaystyle{x }$ άρρητος, να είναι ρητή.

Ενδιαφέρον!
Παρόμοιο θέμα έχει τεθεί και στον προκριματικό διαγωνισμό νέων, το 2012:
δείτε π.χ. https://drive.google.com/file/d/0B9uh0V ... t4Wjg/view

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1978 - ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1978 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1978 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1978 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1978 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1978 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση