Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Giorgos S · #1

Θέμα από το βιβλίο ''Themes Mathematiques'' του Gaston Aligniac σε μετάφραση και διασκευή Β.Σπανδάγου

Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:[2,3] \rightarrow \mathbb R$ , για την οποία ισχύουν τα εξής:

$\bullet$ είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη.

$\bullet$ $\displaystyle f(2)=\frac{4}{5}$ .

$\bullet$ $\displaystyle f(3)=\frac{9}{10}$ .

Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \frac{17}{20}<\int_{2}^{3}{f(t)dt}<\frac{9}{10}$ .

kostas_zervos · #2

Giorgos S έγραψε:Θέμα από το βιβλίο ''Themes Mathematiques'' του Gaston Aligniac σε μετάφραση και διασκευή Β.Σπανδάγου

Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:[2,3] \rightarrow \mathbb R$ , για την οποία ισχύουν τα εξής:

$\bullet$ είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη.

$\bullet$ $\displaystyle f(2)=\frac{4}{5}$ .

$\bullet$ $\displaystyle f(3)=\frac{9}{10}$ .

Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \frac{17}{20}<\int_{2}^{3}{f(t)dt}<\frac{9}{10}$ .

: ask225.png (6.45 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές

Αφού είναι γνησίως αύξουσα έχουμε $\dfrac{4}{5}=f(2)\leq f(x)\leq f(1)=\dfrac{9}{10}$ .

Αφού είναι κοίλη , η C_f

βρίσκεται πάνω από τη χορδή $\Delta\Gamma$ .

Έτσι η C_f

βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου $\overset{\triangle}{\Delta\Gamma E}$ .

Το εμβαδόν που ορίζεται από $C_f\;,\;x'x\;,\;x=2\;,\;x=3$ είναι μικρότερο από το εμβαδόν του ορθογωνίου $AB\Gamma E$ και μεγαλύτερο από το εμβαδόν του τραπεζίου $AB\Gamma\Delta$ .

Άρα $\displaystyle (AB\Gamma \Delta)<\int_{2}^{3}f(x)\,dx<(AB\Gamma E)\Rightarrow \dfrac{17}{20}<\int_{2}^{3}f(x)<\dfrac{9}{10}$ .

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση