3 ημικύκλια

Ιστοσελίδα · #1

: 3-semicircles.png (15.59 KiB) Προβλήθηκε 800 φορές

Δίνονται τα διαδοχικά συνευθειακά σημεία A,B,C

με

. Στο ημικύκλιο διαμέτρου

παίρνουμε σημείο

, τέτοιο ώστε το

να τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στα $E,\,Z$ και το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

. Να δείξετε ότι DE = ZH

.

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλημέρα.

: 12-11.MN.PNG (11.61 KiB) Προβλήθηκε 757 φορές

Στο σχήμα είναι K,P

τα μέσα των AB , BC

και

τα μέσα των AH ,ZE

αντίστοιχα. Τότε έχουμε $MK\perp AH ,PN\perp ZE$ ενώ $\hat{ADC}=90^{0}$ αφού βαίνει σε ημικύκλιο. Συνεπώς είναι $MK\parallel PN\parallel DC$ και από το Θ. του Θαλή προκύπτουν :

$\frac{AM}{MN}=\frac{AK}{KP}\Leftrightarrow \frac{m}{m+k+n}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow 3m=m+k+n\Leftrightarrow {\color{blue} 2m=k+n}$ και

$\frac{DN}{AM}=\frac{PC}{AK}\Leftrightarrow \frac{n+p}{m}=2\Leftrightarrow {\color{blue} 2m=n+p}$

Έτσι παίρνουμε p=k

δηλ

.

Φιλικά Γιώργος.

Ιστοσελίδα · #3

Γιώργο καλημέρα και σ’ ευχαριστώ. Μια λύση χωρίς το θεώρημα του Θαλή, μια που είναι εκτός ύλης για τη Γ’ Γυμνασίου εδώ και κάποια χρόνια.

: 3-semicircles-sol.jpg (28.67 KiB) Προβλήθηκε 735 φορές

Αν $OM \bot AD$ και εφόσον $BH\parallel OM\parallel CD,\,AB = BO = OC = x$ , τότε από εδώ AH = HM = MD

. Είναι όμως ME = MZ

από το ισοσκελές $\triangleleft OEZ$ , συνεπώς DE = ZH

σαν διαφορά ίσων τμημάτων.

p_gianno · #4

ορθογώνιο (1) και BZ=EI

(2) ως χορδές αντιστοιχούσες στις ίσες ως εντός εναλλάξ εγγεγραμμένες γωνίες ZIB ,EZI

.

Τα ορθ. τργ BHZ , IDE

είναι ίσα αφού έχουν BZ=EI

και

λόγω (1) συνεπώς HZ=ED

οεδ

3 ημικύκλια

3 ημικύκλια

Re: 3 ημικύκλια

Re: 3 ημικύκλια

Re: 3 ημικύκλια

Μέλη σε σύνδεση