Να βρείτε την f

Λάμπρος Μπαλός · #1

Για την παραγωγίσιμη και περιττή συνάρτηση $f:R\rightarrow \left(-1,1 \right)$ είναι $f'(x)+f^{2}\left(x \right)=1$ .

Να βρείτε την

.

#2

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Για την παραγωγίσιμη και περιττή συνάρτηση $f:R\rightarrow \left(-1,1 \right)$ είναι $f'(x)+f^{2}\left(x \right)=1$ .

Να βρείτε την .

Ισοδύναμα $\displaystyle{ \frac {f'(x)} {1+f(x)} + \frac {f'(x)} {1-f(x)} = 2}$ , οπότε

$\displaystyle{ \left ( \ln (1+f(x)) - \ln (1-f(x) ) \right )' =2 }$ .

Άρα για κάποια σταθερά

έχουμε $\displaystyle{ \ln (1+f(x)) - \ln (1-f(x) ) \right =2x+c }$ , και άρα $\displaystyle{ \frac {1+f(x)}{1-f(x)} =e^{2x+c} \, (*)}$ .

Η υπόθεση ότι η

είναι περιττή δίνει f(0)=0

οπότε η

δίνει

, δηλαδή

. Λύνοντας τώρα την (*)

θα βρούμε $\displaystyle{f(x)= \frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1} }$ που επαληθεύει.

Φιλικά,

Μιχάλης

Edit: Διόρθωσα τυπογραφικό.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Μία παρατήρηση. Πρίν διαιρέσομε διά τοῦ f^2(x)-1

, θά πρέπει νά βεβαιωθοῦμε ὅτι οἱ σταθερές λύσεις $\varphi_1\equiv 1$ δέν $\varphi_1\equiv -1$ εἶναι ὁι ζητούμενες, πού ὄντως δέν εἶναι οἱ ζητούμενες. Ἐπίσης, λόγω μοναδικότητος, ἄν μία λύση δέν εἶναι σταθερή τότε δέν λαμβάνει καμία ἀπό τίς τιμές $\pm 1$ , ὁπότε δικαιούμεθα νά διαρέσομε!

Φιλικά

Γιῶργος

#4

Σωστά.

Ο λόγος που διαίρεσα είναι ότι η άσκηση δίνει ότι το σύνολο τιμών της

είναι στο ανοικτό (-1,1)

. Άρα ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται. Για αυτό, και για άλλους λόγους, στο τέλος έγραψα ότι πρέπει να ελέγξουμε ότι η λύση επαληθεύει τις δοθείσες συνθήκες (εννοείται και την συνθήκη περί συνόλου τιμών).

Μ.

Να βρείτε την f

Να βρείτε την f

Re: Να βρείτε την f

Re: Να βρείτε την f

Re: Να βρείτε την f

Μέλη σε σύνδεση