παραγοντικό

bboybast · #1

Αποδείξτε $n!\leq (\frac{1+n}{2})^n$ ,n φυσικός.

#2

bboybast έγραψε:Αποδείξτε $n!\leq (\frac{1+n}{2})^n$ ,n φυσικός.

Έστω η ακολουθία $\displaystyle{{a_n} = \frac{{{{\left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)}^n}}}{{n!}}}$ .

Τότε $\displaystyle{\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \frac{{{{\left( {\dfrac{{n + 2}}{2}} \right)}^{n + 1}}/\left( {n + 1} \right)!}}{{{{\left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)}^n}/n!}} = \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^{n + 1}}}}{{2\left( {n + 1} \right){{\left( {n + 1} \right)}^n}}} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)^{n + 1}}\mathop \geqslant \limits^{Bernoulli} \frac{1}{2} \cdot \left( {1 + \left( {n + 1} \right)\frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1}$ .

Επομένως $\displaystyle{{a_n} \uparrow }$ , οπότε $\displaystyle{{a_n} \geqslant {a_1} \Rightarrow {a_n} \geqslant 1 \Rightarrow \frac{{{{\left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)}^n}}}{{n!}} \geqslant 1 \Rightarrow \boxed{n! \leqslant {{\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)}^n}}}$ .

#3

bboybast έγραψε:Αποδείξτε $n!\leq (\frac{1+n}{2})^n$ ,n φυσικός.

Αλλιώς: Από ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε

$\displaystyle{ 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n \le \left (\frac {1+2+...+n}{n} \right ) ^n=\left (\frac {n+1}{2} \right ) ^n}$

M.

#4

Kαι αλλιώς: Άμεσο από πολλαπλασιασμό κατά μέλη των

ανισοτήτων $\displaystyle{ k \cdot (n+1-k) \le \left (\frac {n+1}{2}\right ) ^2 , \, k=1,2,...,n}$ . Η ανισότητα που έγραψα είναι απλά η $\displaystyle{ab \le \left (\frac {a+b}{2} \right )^2}$ .

Μ.

παραγοντικό

παραγοντικό

Re: παραγοντικό

Re: παραγοντικό

Re: παραγοντικό

Μέλη σε σύνδεση