ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1971 - ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Να δειχθεί οτι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} \beta^2x^2+\alpha^2y^2-\alpha62\beta^2=0 \\ Ax+By+\Gamma=0 \end{cases}}$
να έχει μια διπλή λύση είναι η $\displaystyle{A^2\alpha^2+B^2\beta^2=\Gamma^2}$ . Εαν $\displaystyle{x=x_1, y=y_1}$ είναι η διπλή αυτή λύση της,
να δείξετε οτι η εξίσωση $\displaystyle{Ax+By+\Gamma=0}$ γράφεται στην μορφή $\displaystyle{\frac{xx_1}{\alpha^2}+\frac{yy_1}{\beta^2}=1}$

2. Να δείξετε οτι το διπλό τετραγωνικό ριζικό $\displaystyle{\sqrt{\alpha+2\beta-2\sqrt{2\alpha\beta}}}$ όπου $\displaystyle{ \alpha>0,\beta>0}$ ισούται
με $\displaystyle{\sqrt{a}-\sqrt{2\beta}}$ όταν $\displaystyle{\alpha>2\beta }$ , με $\displaystyle{\sqrt{2\beta}- \sqrt{a}}$ όταν $\displaystyle{\alpha<2\beta}$ και με $\displaystyle{0}$ όταν $\displaystyle{\alpha=2\beta}$ .

3. Να λυθεί και να διερευνηθεί η διτετράγωνη εξίσωση $\displaystyle{\alpha x^4+\beta x^2+\gamma=0}$ , όπου $\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}$ πραγματικοί με $\displaystyle{\alpha\ne 0}$

4. Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης $\displaystyle{(4\alpha^2-17\alpha\beta+15\beta^2)\sqrt{\alpha}:\left(\sqrt[3]{\alpha}-\frac{2\beta}{\sqrt[3]{\alpha}}\right)}$ .
Να βρεθεί η αριθμητική τιμή του πηλίκου της διαίρεσης αυτής για $\displaystyle{\alpha=0,001}$ και $\displaystyle{\beta=\frac{1}{5}}$ .

#2

parmenides51 έγραψε:
2. Να δείξετε οτι το διπλό τετραγωνικό ριζικό $\displaystyle{\sqrt{\alpha+2\beta-2\sqrt{2\alpha\beta}}}$ όπου $\displaystyle{ \alpha>0,\beta>0}$ ισούται
με $\displaystyle{\sqrt{a}-\sqrt{2\beta}}$ όταν $\displaystyle{\alpha>2\beta }$ , με $\displaystyle{\sqrt{2\beta}- \sqrt{a}}$ όταν $\displaystyle{\alpha<2\beta}$ και με $\displaystyle{0}$ όταν $\displaystyle{\alpha=2\beta}$ .

$\displaystyle{\sqrt {\alpha + 2\beta - 2\sqrt {2\alpha \beta } } = \sqrt {{{\left( {\sqrt \alpha } \right)}^2} - 2\sqrt {2\alpha \beta } + {{\left( {\sqrt {2\beta } } \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt \alpha - \sqrt {2\beta } } \right)}^2}} }$

$\displaystyle{ = \left| {\sqrt \alpha - \sqrt {2\beta } } \right| = \sqrt \alpha - \sqrt {2\beta } }$ , όταν $\displaystyle{\sqrt \alpha > \sqrt {2\beta } \Leftrightarrow \alpha > 2\beta }$

ή $\displaystyle{\sqrt {2\beta } - \sqrt \alpha }$ , όταν $\displaystyle{\sqrt \alpha < \sqrt {2\beta } \Leftrightarrow \alpha < 2\beta }$

Για $\displaystyle{\alpha = 2\beta }$ , τότε η παράσταση μηδενίζεται.

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1971 - ΑΛΓΕΒΡΑ

ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1971 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1971 - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση