Υπολογισμός παράστασης

#1

Μια απλή (για μας !) άσκηση που κάτι θα προσέφερε , ακόμα και στο μέτριο μαθητή :

ΑΣΚΗΣΗ

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης A-B

, όπου :

$\displaystyle{A=1^2+2^2+3^2+...+ 2013^2}$

και

$\displaystyle{ B=1\cdot 3 + 2\cdot 4 + 3\cdot 5 + ...+2013\cdot 2015 }$

Μπάμπης

Γιώργος Απόκης · #2

Ωραία άσκηση πράγματι. Κάνω μια προσέγγιση, σίγουρα υπάρχουν κι άλλοι τρόποι

$\displaystyle{A-B=1^2+2^2+3^2+...+ 2013^2-1\cdot 3 -2\cdot 4- 3\cdot 5 - ...-2013\cdot 2015}$

$\displaystyle{=(1^2-1\cdot 3)+(2^2-2\cdot 4)+(3^2-3\cdot 5)+...+(2013^2-2013\cdot 2015)}$

$\displaystyle{=1(1-3)+2(2-4)+3(3-5)+...+2013(2013-2015)}$

$\displaystyle{=1(-2)+2(-2)+3(-2)+...+2013(-2)}$

$\displaystyle{=-2(1+2+3+...+2013)}$

$\displaystyle{=-2[(1+2013)+(2+2012)+(3+2011)+...+(1006+1008)+1007]}$

$\displaystyle{=-2(2014+2014+2014+...+2014+1007)}$

$\displaystyle{-2(1006\cdot 2014+1007)}$

$\displaystyle{=-2(1006\cdot 2\cdot 1007+1007)}$

$\displaystyle{=-2(2012\cdot 1007+1007)}$

$\displaystyle{=-2\cdot 2013\cdot 1007}$

$\displaystyle{=-2014\cdot 2013}$

#3

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μια απλή (για μας !) άσκηση που κάτι θα προσέφερε , ακόμα και στο μέτριο μαθητή :

ΑΣΚΗΣΗ

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης , όπου :

$\displaystyle{A=1^2+2^2+3^2+...+ 2013^2}$

και

$\displaystyle{ B=1\cdot 3 + 2\cdot 4 + 3\cdot 5 + ...+2013\cdot 2015 }$

Μπάμπης

Καλησπέρα Μπάμπη και Γιώργο.

Απλώς να αναφέρω ένα άλλο τρόπο υπολογισμού του αθροίσματος $\displaystyle{S = 1 + 2 + 3 + ... + 2013}$ (στην ουσία δεν υπάρχει διαφορά, αλλά ίσως οι μαθητές Γυμνασίου το καταλάβουν καλύτερα).

Είναι $\displaystyle{S = 1 + 2 + 3 + ... + 2011 + 2012 + 2013}$
$\displaystyle{S = 2013 + 2012 + 2011 + ... + 3 + 2 + 1}$

Με πρόσθεση κατά μέλη αυτών των δύο ισοτήτων βρίσκουμε:

$\displaystyle{2S = (2013 + 1) + (2012 + 2) + (2011 + 3) + ... + (2011 + 3) + (2012 + 2) + (2013 + 1)}$ , όπου υπάρχουν 2013 παρενθέσεις.

Οπότε $\displaystyle{S = \frac{{2013 \cdot 2014}}{2}}$

#4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μια απλή (για μας !) άσκηση που κάτι θα προσέφερε , ακόμα και στο μέτριο μαθητή :

ΑΣΚΗΣΗ

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης , όπου :

$\displaystyle{ \displaystyle{A=1^2+2^2+3^2+...+ 2013^2} }$

και

$\displaystyle{ B=1\cdot 3 + 2\cdot 4 + 3\cdot 5 + ...+2013\cdot 2015 }$

Μπάμπης

Καλή χρονιά !

Εντάξει, λίγο η παρέα, λίγο το παραπάνω κρασάκι, λίγο να πειράξω την άσκηση, έγινε η ζημιά και σας παίδεψα πιο πολύ από ό,τι η άσκηση .Τι ωραία που θα ήταν αν είχα γράψει πιο σωστά την παρακάτω άσκηση !

ΝΕΑ ΑΣΚΗΣΗ

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης A-B

, όπου :

$\displaystyle{A=1^2+2^2+3^2+...+ 2013^2+2014^2 }$

και

$\displaystyle{ B=1\cdot 3 + 2\cdot 4 + 3\cdot 5 + ...+2013\cdot 2015 }$

ΣΧΟΛΙΟ

Αξίζει τον κόπο να κρατήσετε την άσκηση -στη νέα εκδοχή - για τους μαθητές σας . Μια επίσης προσέγγιση είναι να γράψουμε :

$\displaystyle{ B=1\cdot 3 + 2\cdot 4 + 3\cdot 5 + ...+2013\cdot 2015 = (2-1)(2+1)+(3-1)(3+1)+(4-1)(4+1)+ ... + (2014-1)(2014+1) = =2^2+3^2+3^2+...+2014^2 - 2013 }$

οπότε $\displaystyle{ a-b=1+2013=2014 }$

Μπ.

Υπολογισμός παράστασης

Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Re: Υπολογισμός παράστασης

Μέλη σε σύνδεση