Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

gavrilos · #81

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 34:
Έστω $\displaystyle{x,y,z}$ τρεις πραγματικοί αριθμοί με Να λύσετε το σύστημα των ανισώσεων

$\begin{cases}\dfrac{1}{y-x}+\dfrac{1}{z-y}\leq 2\\ \\ \dfrac{1}{6-z}+2\leq x \end{cases}$

Προσθέτουμε τις δύο σχέσεις κατά μέλη και έχουμε $\displaystyle{\frac{1}{6-z}+\frac{1}{z-y}+\frac{1}{y-x}\leq x}$ .Επειδή οι παρονομαστές είναι θετικοί μπορούμε να εφαρμόσουμε την ανισότητα Andreescu.

Η τελευταία μας δίνει $\displaystyle{LHS\geq \frac{9}{6-x}\Leftrightarrow \frac{9}{6-x}\leq x\Leftrightarrow (x-3)^{2}\leq 0\Leftrightarrow \boxed{x=3}}$ .

Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στη δεύτερη ανίσωση παίρνουμε $\displaystyle{\frac{1}{6-z}\leq 1\Leftrightarrow 3<z\leq 5}$ .

Έτσι $\displaystyle{z-y\leq 5-y\Leftrightarrow \frac{1}{z-y}\geq \frac{1}{5-y}}$ οπότε αντικαθιστώντας στην πρώτη ανίσωση έχουμε

$\displaystyle{\frac{1}{y-3}+\frac{1}{5-y}\leq 2\Leftrightarrow 5-y+y-3\leq 2(y-3)(5-y)\Leftrightarrow 2\leq 2(-y^{2}+8y-15)\Leftrightarrow 2(y^{2}-8y+16)\leq 0\Leftrightarrow 2(y-4)^{2}\leq 0\Leftrightarrow \boxed{y=4}}$ .

Έτσι η πρώτη σχέση γίνεται $\displaystyle{\frac{1}{z-4}+\frac{1}{4-3}\leq 2\Leftrightarrow \frac{1}{z-4}\leq 1\Leftrightarrow z\geq 5}$ .

Όμως παραπάνω βρήκαμε $\displaystyle{z\leq 5}$ οπότε $\displaystyle{z=5}$ .

Έτσι $\displaystyle{(x,y,z)=(3,4,5)}$ .

kleovoulos · #82

Επειδή παρατήρησα ότι το αντίστοιχο θέμα για το Γυμνάσιο λειτουργεί πιο οργανωμένα μετά από την εφαρμογή ενός συστήματος με βάση το οποίο μελετάμε μόνο ένα κεφάλαιο κάθε φορά, προτείνω να κάνουμε το ίδιο θέμα. Αυτό απαιτεί ορισμένες προϋποθέσεις. Αρχικά, πρέπει να ορίζουμε το κεφάλαιο με το οποίο θα ασχοληθούμε, να αναφέρουμε αναλυτικά τη θεωρία, την πλήρη μεθοδολογία και τουλάχιστον ένα λυμένο παράδειγμα, ακολουθούμενο από ασκήσεις. Προτείνω να ξεκινήσουμε με τα συστήματα, αφού είναι ιδιαίτερα σημαντικέα για όλα τα επίπεδα των διαγωνισμών του Λυκείου. Οι τέσσερις κλάδοι των μαθηματικών με τους οποίους θα ασχοληθούμε είναι Άλγεβρα, Γεωμετρία, Θεωρία Αριθμών και Συνδυαστική. Προτείνω για να είναι πιο εύκολη η εύρεση της κατάλληλης θεωρίας και ασκήσεων ανά τακτά χρονικά διαστήματα να συλλέγουμε τα πάντα που αφορούν ένα κεφάλαιο σε μία δημοσίευση.

1ο Κεφάλαιο - Άλγεβρα
1η Ενότητα - Γραμμικά Συστήματα
Aπό το βιβλίο του κ. Στεργίου "Ολυμπιάδες Μαθηματικών - Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Α' Λυκείου"
-ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ-
Συστήματα πρώτου βαθμού
Για τη λύση ενός συστήματος πρώτου βαθμού με δύο ή περισσότερους αγνώστους χρησιμοποιούμε τις εξής μεθόδους:
α. Μέθοδος της αντικατάστασης: Επιλέγουμε μια εξίσωση, λύνουμε προς έναν άγνβστο και τον αντικαθιστούμε στις υπόλοιπες εξισώσεις, κάνοντας και τις απαραίτητες απλοποιήσεις. Μετά από όλες τις δυνατές αντικαταστάσεις καταλήγουμε σε εξίσωση με έναν άγνωστο, και από εκεί βρίσκουμε τη λύση (αν υπάρχει) και αντικαθιστούμε ώστε να βρούμε και τις τιμές των υπολοίπων αγνώστων.
β. Μέθοδος των διαδοχικών απαλοιφών ή μέθοδος του Gauss: Με κατάλληλους πολλαπλασιασμούς στους όρους μίας εξίσωσης του συστήματος και με την προσθαφαίρεση σχέσεων απαλοίφουμε κάποιον άγνωστο. Με επανάληψη αυτής της διαδικασίας καταλήγουμε σε μία εξίσωση η οποία περιέχει έναν άγνωστο και δείχνει αν το σύστημα είναι αδύνατο, έχει μία ή άπειρες λύσεις.

Συστήματα μεγαλυτέρου βαθμού
Τα συστήματα με βαθμό μεγαλύτερο του πρώτου δεν έχουν ορισμένο τρόπο αντιμετώπισης και για αυτό χρησιμοποιούμε αρκετούς τρόπους επίλυσης όπως:
α. Αλαγή της μορφής των εξισώσεων
β. Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός ή και διαίρεση κατά μέλη δύο ή περισσότερων εξισώσεων του συστήματος, μία ή περισσότερες φορές
γ. Χρήση διαφόρων γνωστών ταυτοτήτων
δ. Χρήση τύπων που αφορούν τις σχέσεις ριζών και συντελεστών (π.χ. τύποι Vieta)
Σκόπιμο είναι να ελέγχουμε αν οι λύσεις μας είναι δεκτές.

-ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1: Να λυθεί το σύστημα $\Sigma _1 :\begin{cases} \rm 6751x+3249y=26751 & \\ \rm 3249x+6751y=23249 & \end{cases}$ .
ΛΥΣΗ: Προσθέτουμε τις εξισώσεις του συστήματος και παίρνουμε $\rm 10000x+10000y=5000 \Leftrightarrow x+y=5$ (1).
Στη συνέχεια αφαιρούμε τις εξισώσεις του συστήματος και παίρνουμε $\rm 3502x-3502y=3502 \Leftrightarrow x-y=1$ (2).
Προκύπτει λοιπόν το σύστημα: $\Sigma _2 :\begin{cases} \rm x+y=5 & \\ \rm x-y=1 & \end{cases}$ . Με πρόσθεση των εξισώσεων έχουμε $2x=6 \Leftrightarrow x=3$ και με αφαίρεση των εξισώσεων έχουμε $2y=4 \Leftrightarrow y=2$ . Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση τη (x,y)=(3,2)

.

-AΣΚΗΣΕΙΣ-
ΑΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 1: Να λυθεί το σύστημα x+2(y+z)=11

,

. ΛΥΘΗΚΕ
AΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 2: Να λυθεί το σύστημα x^2 -x+1=y

,

. ΛΥΘΗΚΕ
AΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 3: Να λυθεί το σύστημα x+y+z=2

,

. ΛΥΘΗΚΕ
ΑΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 4: Να λυθεί το σύστημα x^3+y^3=9a^3

,

, $a\neq 0$ . ΛΥΘΗΚΕ
AΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 5: Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα x^2+y^2-z(x+y)=2

,

. ΛΥΘΗΚΕ
AΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 6: Να λυθεί το σύστημα x+y+z=9

, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ , xy+yz+zx=27

. ΛΥΘΗΚΕ
AΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 7: Να λυθεί το σύστημα x^2 +xy+y^2=1

,

. ΛΥΘΗΚΕ
ΑΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 8: Ένα κατάστημα επίπλων πουλάει 225 κρεβάτια κατά τη διάρκεια του έτους 1998. Στην αρχή πουλούσε 25 κρεβάτια το μήνα, στη συνέχεια 16 κρεβάτια το μήνα και τέλος 20 κρεβάτια το μήνα. Πόσους μήνες πουλούσε 25 κρεβάτια το μήνα;
ΑΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 9: Να λυθεί το σύστημα x+y+z=3

,

.
AΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 10: Να λυθεί το σύστημα $\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0 \\ x_2+x_3+x_4=0 \\ \text{ ..................... } \\ x_{99}+x_{100}+x_1=0 \\ x_{100}+x_1+x_2=0 \end{cases}$ .

Παρακαλώ οι λύσεις να είναι απολύτως πλήρεις για τα μικρότερα άτομα που παρακολουθούν τη συζήτηση.

#83

kleovoulos έγραψε: AΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 7: Να λυθεί το σύστημα , , .

Μια κλασική λύση: Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της πρώτης εξίσωσης με το $\displaystyle{x-y}$ , βρίσκουμε: $\displaystyle{x^3 -y^3=x-y}$

Ομοίως βρίσκουμε: $\displaystyle{y^3 -z^3 =7y-7z}$ και $\displaystyle{z^3 -x^3 =4z-4x}$

Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω εξισώσεων, βρίσκουμε: $\displaystyle{0=6y-3x-3z\Rightarrow y=\frac{x+z}{2}}$

Η πρώτη τώρα εξίσωση του δοσμένου συστήματος, γράφεται: $\displaystyle{x^2 +x\frac{x+z}{2}+(\frac{x+z}{2})^2 =1\Rightarrow}$

$\displaystyle{7x^2 +z^2 +4xz=4}$ , (1)

Επίσης, η τρίτη εξίσωση του δοσμένου συστήματος, γράφεται: $\displaystyle{4z^2 +4zx+4x^2 =16}$ , (2)

Aφαιρούμε από την (1) την (2) και βρίσκουμε: $\displaystyle{3x^2 -3z^2 =-12\Rightarrow x^2 -z^2 =-4}$

Έχουμε λοιπόν καταλήξει στο εξής σύστημα:

$\displaystyle{y=\frac{x+z}{2}}$ , (i)

$\displaystyle{x^2 -z^2 =-4}$ , (ii)

$\displaystyle{x^2 +zx+z^2 =4}$ , (iii)

Από (ιι)+(ιιι) $\displaystyle{\Rightarrow 2x^2 +zx =0\Rightarrow x(2x+z)=0\Rightarrow x=0}$ ή $\displaystyle{z=-2x}$

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{x=0}$ . Τότε :

$\displaystyle{y=\frac{z}{2}}$

$\displaystyle{z^2 =4}$

Άρα: $\displaystyle{(x,y,z)\in \{(0,1,2),(0,-1,-2)\}}$ , τιμές που επαληθεύουν το σύστημα.

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{z=-2x}$ . Τότε:

$\displaystyle{y=-\frac{x}{2}}$

$\displaystyle{3x^2 =4}$

Άρα: $\displaystyle{(x,y,z)\in \{(\frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{4\sqrt{3}}{3}), (-\frac{2\sqrt{3}}{3} , \frac{\sqrt{3}}{3} , \frac{4\sqrt{3}}{3})\}}$

, τιμές που επίσης επαληθεύουν το σύστημα.

#84

kleovoulos έγραψε:AΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 5: Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα , , .

Θέτουμε $\displaystyle{x+y+z=k}$ και τότε το σύστημα γράφεται:

$\displaystyle{x^2 +y^2 +z^2 =2+kz}$

$\displaystyle{x^2 +y^2 +z^2 =4+kx}$

$\displaystyle{x^2 +y^2 +z^2 =8+ky}$

Και από εδώ έχουμε:

$\displaystyle{2+kz=4+kx}$

$\displaystyle{4+kx=8+ky}$

Άρα:

$\displaystyle{k(z-x)=2}$

$\displaystyle{k(x-y)=4}$

Από εδώ έπεται ότι $\displaystyle{z\neq x}$ , $\displaystyle{k\neq 0}$ και $\displaystyle{x\neq y}$ . Eπίσης με διαίρεση κατά μέλη των δύο πιο πάνω εξισώσεων,

παίρνουμε $\displaystyle{y=3x-2z}$ , (1)

Τώρα οι δύο πρώτες εξισώσεις του δοσμένου συστήματος, γράφονται:

$\displaystyle{x^2 +(3x-2z)^2 -z(x+3x-2z)=2}$

$\displaystyle{(3x-2z)^2 +z^2 -x(3x-2z+z)=4}$

και άρα:

$\displaystyle{10x^2 -16xz+6z^2 =2}$

$\displaystyle{6x^2 -11xz+5z^2 =4}$

και τελικά:

$\displaystyle{20x^2 -32xz+12z^2 =4}$

$\displaystyle{6x^2 -11xz+5z^2 =4}$ , (2)

Aπό εδώ τώρα, έπεται : $\displaystyle{20x^2 -32xz+12z^2 =6x^2 -11xz+5z^2 \Rightarrow z^2 -3xz+2x^2 =0}$ . Από το τριώνυμο αυτό

(ως προς $\displaystyle{z}$ ), έπεται (εφόσον $\displaystyle{x\neq z}$ ) ότι $\displaystyle{z=2x}$ . Και από την (1) $\displaystyle{\Rightarrow y=-x}$ . Eπίσης η (2) γράφεται:

$\displaystyle{6x^2 -11x.2x+5.4x^2 =4\Rightarrow x^2 =1\Rightarrow x=\pm 1}$

Άρα έχουμε: $\displaystyle{(x,y,z)\in \{(1,-1,2),(-1,1,-2)\}}$ και το σύστημα διαπιστώνουμε ότι επαληθεύεται

#85

kleovoulos έγραψε: AΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 2: Να λυθεί το σύστημα , .

Αφαιρώ κατά μέλη τις δύο εξισώσεις:

$\displaystyle{{x^2} - x - {y^2} + y = y - x \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{x^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow (x - y)(x + y) = 0 \Leftrightarrow x = y}$ ή x=-y

Αν

, τότε $\displaystyle{{x^2} - x + 1 = x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 0}$

Άρα, x=y=1

.

Αν

, τότε $\displaystyle{{y^2} - y + 1 = - y \Leftrightarrow {y^2} + 1 = 0}$ , που είναι αδύνατη στο

.

#86

kleovoulos έγραψε: AΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 3: Να λυθεί το σύστημα , .

1ος τρόπος

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 2\\ 2xy - {z^2} = 4 \end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 2 - z\\ 2xy = {z^2} + 4 \end{array} \right.}$

Υψώνω την πρώτη εξίσωση στο τετράγωνο και αντικαθιστώ την τιμή του 2xy

από τη δεύτερη εξίσωση:

$\displaystyle{{(x + y)^2} = {(2 - z)^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = 4 - 4z + {z^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = - 4z}$

$\displaystyle{{x^2} + {y^2} - 2xy = - 2z - 2xy \Leftrightarrow {(x - y)^2} = - 4z - {z^2} - 4}$

$\displaystyle{{(x - y)^2} = - {(z + 2)^2} \Leftrightarrow {(x - y)^2} + {(z + 2)^2} = 0}$ .

Άρα: x=y

και

Με αντικατάσταση στην πρώτη αρχική εξίσωση προκύπτει: $\displaystyle{2x - 2 = 2 \Leftrightarrow x = 2}$ .

Η λύση λοιπόν του συστήματος είναι (x,y,z)=(2,2,-2)

.

2ος τρόπος

$\displaystyle{x + y + z = 2 \Leftrightarrow z = 2 - x - y}$ (1)
Αντικαθιστώ την (1) στη δεύτερη εξίσωση:

$\displaystyle{2xy = {\left( {2 - x - y} \right)^2} + 4 \Leftrightarrow 4 + {x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 2xy + 4 = 2xy}$

$\displaystyle{{(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow }$ x=y=2

.

Οπότε εύκολα τώρα προκύπτει ap;o thn (1) ότι z=-2

.

kleovoulos · #87

kleovoulos έγραψε: -AΣΚΗΣΕΙΣ-
ΑΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 1: Να λυθεί το σύστημα , , .
AΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 6: Να λυθεί το σύστημα , $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ , .

Λύνω και εγώ τις ασκήσεις που παρέθεσα, εφόσον δεν πρόλαβα να τις αντιμετωπίσω από το βιβλίο πριν τις ανεβάσω.
Λύση στην ΑΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 1
Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις του συστήματος έχω $\rm 5(x+y+z)=30\Leftrightarrow x+y+z=6$ (1).
$(1)\Leftrightarrow y+z=6-x$ και αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση του συστήματος ισχύει $x+2(6-x)=11\Leftrightarrow x=1$ .
Επίσης $(1)\Leftrightarrow z+x=6-y$ και αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος ισχύει $y+2(6-y)=10\Leftrightarrow y=2$ .
Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στην (1) προκύπτει ότι z=3

. Άρα η λύση του συστήματος είναι η (x,y,z)=(1,2,3)

.

Λύση στην ΑΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 6
Με πράξεις στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος: $\frac{xy+yz+zx}{xyz}=1$ όμως από την τρίτη εξίσωση του συστήματος ισχύει xy+yz+zx=27

άρα

. To

μπορεί να γραφεί ως εξής $27=27\cdot 1 \cdot 1$ , $27=3\cdot 3 \cdot 3$ και $27=3\cdot 9\cdot 1$ που είναι και οι πιθανές λύσεις (μαζί με τυχόν αρνητικές τιμές και τις κατάλληλες αναδιατάξεις). Με αντικατάσταση στην πρώτη εξίσωση του συστήματος βρίσκουμε ότι η μόνη δεκτή λύση είναι η (x,y,z)=(3,3,3)

.

parmenides51 · #88

καλησπέρα Κλεόβουλε

εαν και εφόσον αντιγράφεις αυτούσια μέρη από κάποιο βιβλίο, μήπως θα ήταν καλύτερα να το αναφέρεις;

φιλικά

kleovoulos · #89

parmenides51 έγραψε:καλησπέρα Κλεόβουλε

εαν και εφόσον αντιγράφεις αυτούσια μέρη από κάποιο βιβλίο, μήπως θα ήταν καλύτερα να το αναφέρεις;

φιλικά

Διορθώθηκε. Οι ασκήσεις, τα παραδείγματα και η θεωρία είναι από το πέμπτο κεφάλαιο του βιβλίου "Ολυμπιάδες Μαθηματικών - Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Α' Λυκείου" του κ. Στεργίου.

#90

kleovoulos έγραψε:ΑΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 4: Να λυθεί το σύστημα , , $a\neq 0$ .

Έχουμε:

$\displaystyle{(x+y)^3 -3xy(x+y)=9a^3}$

$\displaystyle{xy(x+y)=6a^3}$

Άρα:

$\displaystyle{(x+y)^3 -18a^3 =9a^3}$

$\displaystyle{xy(x+y)=6a^3}$

Άρα:

$\displaystyle{x+y=3a}$

$\displaystyle{xy=2a^2}$

Άρα τα $\displaystyle{x,y}$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης: $\displaystyle{t^2 -3at +2a^2 =0}$ . Και από εδώ βρίσκουμε:

$\displaystyle{(x,y)\in \{(2a,a),(a,2a)\}}$

gavrilos · #91

Μια εισαγωγή στις συναρτησιακές.

ΑΣΚΗΣΗ 37

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(1)\geq 0}$ και $\displaystyle{f(x)-f(y)\geq (x-y)f(x-y)}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

raf616 · #92

kleovoulos έγραψε: AΛΓ/ΣΥΣ/ΑΣΚ 6: Να λυθεί το σύστημα , $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ , .

Καλησπέρα. Θα ήθελα να βάλω μία λύση για το παραπάνω σύστημα για την οποία δεν είμαι σίγουρος και γι' αυτό θα ήθελα τις παρατηρήσεις σας...

Από την δεύτερη εξίσωση θα πάρουμε xyz = 27

. Τώρα χρησιμοποιώντας την ΑΜ - ΓΜ θα έχουμε:

$x + y + z \geq 3\sqrt[3]{xyz} \Leftrightarrow x + y + z \geq 9$

Επειδή όμως ισχύει η ισότητα θα είναι x = y = z

. Άρα

.

#93

ΑΣΚΗΣΗ 38: Δίνεται κύκλος $\displaystyle{(C_1 )}$ κέντρου $\displaystyle{K_1}$ και διαμέτρου $\displaystyle{AB}$ . Έστω $\displaystyle{C}$ ένα τυχαίο σημείο της

ακτίνας $\displaystyle{K_1B}$ και $\displaystyle{M}$ το μέσον του $\displaystyle{CB}$ . Θεωρούμε και τον κύκλο $\displaystyle{(C_2 )}$ διαμέτρου $\displaystyle{AC}$ και έστω $\displaystyle{MD}$ και $\displaystyle{ME}$ οι

εφαπτομένες του κύκλου αυτού. Αν οι ευθείες $\displaystyle{AD}$ και $\displaystyle{AE}$ τέμνουν τον κύκλο $\displaystyle{(C_1 )}$ στα σημεία $\displaystyle{K , L}$ να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{K,M , L}$

είναι συνευθειακά.

: ΣΧΗΜΑ Ε.png (12.32 KiB) Προβλήθηκε 2795 φορές

#94

gavrilos έγραψε:Μια εισαγωγή στις συναρτησιακές.

ΑΣΚΗΣΗ 37

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(1)\geq 0}$ και $\displaystyle{f(x)-f(y)\geq (x-y)f(x-y)}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Επειδή στον Ευκλείδη Β' απ' όπου την πήρα είναι άλυτη και έχω μόνο τη λύση που έχω βρει,συγχωρέστε με αν έχω κάνει κάποιο λάθος και στην πραγματικότητα είναι δυσκολότερη από το επίπεδο του φακέλου.

Την είδαμε εδώ:
viewtopic.php?f=111&t=37137

gavrilos · #95

Επειδή δεν είμαι σίγουρος για την ορθότητα της λύσης που υπήρχε εδώ (ασκ.38) την αποσύρω μέχρι να βρω κάτι ικανοποιητικό.

Για να συνεχιστεί το θέμα θα βάλω μια ακόμη άσκηση (εύκολη).

ΑΣΚΗΣΗ 39

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{n}$ ώστε $\displaystyle{3^{n-1}+5^{n-1}\mid 3^{n}+5^{n}}$ .

#96

gavrilos έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 39

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{n}$ ώστε $\displaystyle{3^{n-1}+5^{n-1}\mid 3^{n}+5^{n}}$ .

Είναι

$\displaystyle{3^{n-1}+5^{n-1}|3(3^{n-1}+5^{n-1})=3^n+3\cdot 5^{n-1}.}$

Επομένως, αν $\displaystyle{3^{n-1}+5^{n-1}\mid 3^{n}+5^{n},}$ προκύπτει $\displaystyle{3^{n-1}+5^{n-1}\mid 2\cdot 5^{n-1}.}$

Επειδή προφανώς $\displaystyle{\gcd \Big(3^{n-1}+5^{n-1},5^{n-1}}\Big)=1,}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{3^{n-1}+5^{n-1}\mid 2\implies 3^{n-1}+5^{n-1}\leq 2,}$

το οποίο μπορεί να συμβεί μόνο αν $\displaystyle{n=1.}$

Η επαλήθευση είναι άμεση.

S.E.Louridas · #97

gavrilos έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 39
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{n}$ ώστε $\displaystyle{3^{n-1}+5^{n-1}\mid 3^{n}+5^{n}}$ .

Από την υπόθεση προκύπτει άμεσα:
${3^{n - 1}} + {5^{n - 1}}|4 \cdot {3^{n - 1}} + 6 \cdot {5^{n - 1}} = 6\left( {{3^{n - 1}} + {5^{n - 1}}} \right) - 2 \cdot {3^{n - 1}} \Rightarrow$ ${3^{n - 1}} + {5^{n - 1}}|2 \cdot {3^{n - 1}} \Rightarrow$ ${5^{n - 1}} \leqslant {3^{n - 1}} \Rightarrow n - 1 = 0 \Rightarrow n = 1.$

#98

AΣΚΗΣΗ 40: Αν $\displaystyle{x,y,z >0}$ με $\displaystyle{x+y+z=1}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{3(1-x)(1-y)(1-z)\geq (1+x)(1+y)(1+z)+14xyz-2}$

G.Bas · #99

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 40: Αν $\displaystyle{x,y,z >0}$ με $\displaystyle{x+y+z=1}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{3(1-x)(1-y)(1-z)\geq (1+x)(1+y)(1+z)+14xyz-2}$

Η προς απόδειξη Ανισότητα μετά τις πράξεις είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{3[xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)]\geq xy+yz+zx+9xyz}$ ή ισοδύναμα λόγω της υπόθεσης

$\displaystyle{3[xy(1-z)+yz(1-x)+zx(1-y)]\geq xy+yz+zx+9xyz\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq 9xyz.}$

Αυτή όμως ισχύει λόγω της υπόθεσης και της Ανισότητας AM-GM αφού έχουμε ότι

$\displaystyle{xy+yz+zx=(x+y+z)(xy+yz+zx)\geq 9xyz.}$

#100

ΑΣΚΗΣΗ 41: Δείξτε ότι για κάθε $\displaystyle{a,b,c >0}$ ισχύει:

$\displaystyle{\frac{a+\sqrt{bc}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{b+\sqrt{ca}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}+\frac{c+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά - Λύκειο

Μέλη σε σύνδεση