ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ. - ΜΗΧΑΝ. ΜΗΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Κ. Θεοφιλόπουλος

1. Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις του συστήματος $\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2=z^2 \\ y+z=\alpha \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{\alpha}$ ακέραιος πραγματικός.

2. Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} |x|+|y|=\alpha \\ \alpha y=x^2 \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{\alpha}$ δεδομένος πραγματικός αριθμός.

3. Από τις γεωμετρικές προόδους με πρώτο όρο και λόγο αντίστοιχα $\displaystyle{(\alpha,\omega)}$ και $\displaystyle{(\beta,\lambda)}$ σχηματίζουμε την σειρά,
η οποία έχει όρους τα αθροίσματα των ομοταγών όρων των δυο προόδων.
Εαν από την σειρά αυτή οι τέσσερεις πρώτοι όροι είναι αντίστοιχα οι $\displaystyle{8,4,52,76}$ , να βρεθεί ο νιοστός όρος της.

4. Να λυθεί στο $\displaystyle{\color{red}\mathbb{C}}}$ το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} (\alpha x-\beta y)^2+ (\alpha y+\beta x)^2=0 \\ \alpha x+\beta y=\alpha^2+\beta^2 \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta}$ πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{\alpha^2+\beta^2\ne 0}$

Υ.Γ.1 Σχετικά με το 2ο θέμα, συμπλήρωσα στην εκφώνηση τα κόκκινα γράμματα για να είναι κατανοητή με βάση την δοθείσα λύση της εποχής
Υ.Γ.2 Σχετικά με το 4ο θέμα, συμπλήρωσα στην εκφώνηση τα κόκκινα γράμματα γιατί τα συστήματα τότε τα έλυναν στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$
Υ.Γ.3 Τα θέματα 2,3,4 ήταν κοινά με τα θέματα των υπόλοιπων σχολών Αλλοδαπών (σχετικά)

Christos.N · #2

4. Να λυθεί στο $\displaystyle{\color{red}\mathbb{C}}}$ το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} (\alpha x-\beta y)^2+ (\alpha y+\beta x)^2=0 \\ \alpha x+\beta y=\alpha^2+\beta^2 \end{cases}}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta}$ πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{\alpha^2+\beta^2\ne 0}$

$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \left( {ax - by} \right)^2 + \left( {ay + bx} \right)^2 = 0 \\ ax + by = a^2 + b^2 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} ax - by = 0 \\ ay + bx = 0 \\ ax + by = a^2 + b^2 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} ax - by = (ay + bx)i \\ ax + by = a^2 + b^2 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} ax - by = - (ay + bx)i \\ ax + by = a^2 + b^2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{a^2 + b^2 }}{{2a}} \\ y = - \frac{b}{a}\frac{{a^2 + b^2 }}{{2a}} \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} ax - by = (ay + bx)i \\ ax + by = a^2 + b^2 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} ax - by = - (ay + bx)i \\ ax + by = a^2 + b^2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} (a - bi)x = (ai + b)y \\ ax + by = a^2 + b^2 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} (a + bi)x = (b - ai)y \\ ax + by = a^2 + b^2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} (a - bi)x = i(a - bi)y \\ ax + by = a^2 + b^2 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} (a + bi)x = - i(a + bi)y \\ ax + by = a^2 + b^2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = yi \\ (b + ai)y = a^2 + b^2 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x = - yi \\ (b - ai)y = a^2 + b^2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = a + bi \\ y = b - ai \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x = a - bi \\ y = b + ai \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. }$

Τελικά,

$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{a^2 + b^2 }}{{2a}} \\ y = - \frac{b}{a}\frac{{a^2 + b^2 }}{{2a}} \\ \end{array} \right. \\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x = a + bi \\ y = b - ai \\ \end{array} \right. \\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x = a - bi \\ y = b + ai \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. }$

ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ. - ΜΗΧΑΝ. ΜΗΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ. - ΜΗΧΑΝ. ΜΗΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Re: ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ. - ΜΗΧΑΝ. ΜΗΧ. ΑΛΛΟΔΑΠΟΙ

Μέλη σε σύνδεση