συλλογή τελευταίων ασκήσεων από παλιά βιβλία

parmenides51 · #1

μιας και μου ζητήθηκε ... αντιγράφω την εισαγωγή από εδώ

Ξεκινώ μια σειρά δημοσιεύσεων ασκήσεων γεωμετρίας από γνωστά και λιγότερο γνωστά βιβλία,
που πετυχαίνω στις βόλτες μου στα παλαιοβιβλιοπωλεία ή στους πλανόδιους στον δρόμο
θα βάζω την τελευταία άσκηση επίπεδομετρίας και θα αναφέρω εαν την έχει λυμένη ή όχι
η πηγή θα αναφέρεται όταν κι εφόσον λυθεί . Θα τις βάζω όλες στον φάκελο Seniors.
Πιστεύω οτι είναι ένας διαφορετικός τρόπος να ακουστούν στο
και λιγότερο γνωστά ονόματα που έγραψαν έστω κι ένα βιβλίο κάποτε.

συγκεντρωμένες οι παραπάνω προτάσεις, με τις πηγές τους όταν λυθούν

001. Δίνονται οι παράλληλες ευθείες $\displaystyle{(x)}$ και $\displaystyle{(y)}$ και σημείο $\displaystyle{S}$ εκτός αυτών.
Από το $\displaystyle{S}$ άγεται τυχαία ευθεία που τέμνει τις παράλληλες $\displaystyle{ (x)}$ και $\displaystyle{(y)}$ στα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ αντίστοιχα.
Με διάμετρο την $\displaystyle{AB}$ σχεδιάζουμε κύκλο και από το $\displaystyle{S}$ άγονται οι εφαπτόμενες $\displaystyle{SC}$ και $\displaystyle{SD}$ προς αυτόν.
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της τομής της ευθείας $\displaystyle{SAB}$ και της ευθείας $\displaystyle{CD}$ .

: last 001.png (50.53 KiB) Προβλήθηκε 3523 φορές

Πηγή: ''Ασκήσεις Γεωμετρίας'' του Ποθητού Σταυρόπουλου

002. Δίνονται δυο σημεία $\displaystyle{A, A'}$ και δυο ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon),(\varepsilon ') }$ παράλληλες προς την $\displaystyle{AA' }$ και ισαπέχοντες εκατέρωθεν της $\displaystyle{AA'}$ .
α) Να δείξετε οτι σε κάθε σημείο $\displaystyle{P}$ της $\displaystyle{(\varepsilon) }$ αντιστοιχεί σημείο $\displaystyle{ P' }$ της $\displaystyle{(\varepsilon ')}$ τέτοιο ώστε η $\displaystyle{PP'}$ να εφάπτεται στον περίκυκλους των $\displaystyle{ PAA' , P'AA'}$ .
β) Να δείξετε οτι το γινόμενο των αποστάσεων των σημείων $\displaystyle{A,A'}$ από την ευθεία $\displaystyle{PP'}$ είναι σταθερό.

: last 002.png (136.7 KiB) Προβλήθηκε 3523 φορές

Πηγή: ''Γεωμετρία Μέρος Α- Επιπεδομετρία: Θεωρία - Ασκήσεις'' του Ιωάννη Γ. Παπαχρίστου , 1973

003. Δίνονται δυο παράλληλες ευθείες $\displaystyle{(x)}$ και $\displaystyle{(y)}$ και σημείο $\displaystyle{P}$ που δεν βρίσκεται μεταξύ των παραλλήλων .
Να σχεδιασθεί κοινή κάθετος των $\displaystyle{(x)}$ και $\displaystyle{(y)}$ σε τέτοια θέση ώστε να φαίνεται από το $\displaystyle{P}$ με την μεγαλύτερη δυνατή γωνία.

: last 003.png (27.46 KiB) Προβλήθηκε 3523 φορές

Πηγή: ''Γεωμετρία, μέρος Α, τόμος δεύτερος'' του Στράτη Παπαδόπουλου, 1976

004. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της τομής των διαγωνίων τραπεζίου,
του οποίου οι βάσεις είναι παράλληλες προς δοθείσα κατεύθυνση και
οι μη παράλληλες πλευρές περιέχονται στις πλευρές δοθείσης γωνίας $\displaystyle{\widehat{K}}$ .

: last 004.png (28.23 KiB) Προβλήθηκε 3523 φορές

Πηγή: ''Ασκήσεις και Προβλήματα Γεωμετρίας, Συμπλήρωμα, Μέθοδοι Λύσεως Γεωμετρικών Προβλημάτων,Τόμος ΙΙΙ ''
των Λάζαρου Λάζου και Πέτρου Γ. Τόγκα, 1940

005. Πάνω στην διάμετρο $\displaystyle{AOB}$ δοθέντος κύκλου $\displaystyle{(O,R)}$ δίνονται τα σημεία $\displaystyle{C}$ και $\displaystyle{D}$ .
Να κατασκευαστεί ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{EZH }$ εγγεγραμμένο στον κύκλο $\displaystyle{(O,R) }$ του οποίου
η μια από τις ίσες πλευρές $\displaystyle{ EZ}$ να διέρχεται από το $\displaystyle{C}$ και η βάση του $\displaystyle{ ZH}$ από το $\displaystyle{D}$ .

: last 005.png (22.51 KiB) Προβλήθηκε 3523 φορές

Πηγή: θα την συμπληρώσω αφού λυθεί

parmenides51 · #2

006. Να κατασκευαστεί τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ του οποίου δίνονται οι προβολές του σημείου τομής των διαγωνίων του επί των τεσσάρων πλευρών του.

: last 006 kyrto.png (29.23 KiB) Προβλήθηκε 3515 φορές

: last 006 mi kyrto.png (19.2 KiB) Προβλήθηκε 3515 φορές

Πηγή: θα την συμπληρώσω αφού λυθεί

007. Δίνεται κύκλος $\displaystyle{ (O)}$ και πάνω σε αυτόν παίρνουμε τα τόξα $\displaystyle{AB,CD,EZ}$ της ίδιας φοράς και το καθένα ίσο με $\displaystyle{60^o}$ .
Ας είναι $\displaystyle{H,T,K }$ τα μέσα των χορδών $\displaystyle{BC, DE,ZA}$ αντίστοιχα και $\displaystyle{A_1,D_1 }$ τα μέσα των ακτίνων $\displaystyle{OA,OD }$ αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε οτι το τρίγωνο $\displaystyle{HD_1A_1}$ είναι ισόπλευρο και οτι οι ευθείες $\displaystyle{TD_1}$ και $\displaystyle{ KA_1}$ τέμνονται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\displaystyle{HD_1A_1}$ .
β) Να αποδείξετε οτι τα τρίγωνα $\displaystyle{HD_1T }$ και $\displaystyle{HA_1K}$ είναι ίσα και οτι το τρίγωνο $\displaystyle{HTK}$ είναι ισόπλευρο.

: last 007.png (87.13 KiB) Προβλήθηκε 3515 φορές

Πηγή: ''Γεωμετρία, μέρος Α, τόμος δεύτερος'' του Στράτη Παπαδόπουλου, 1976

008. Θεωρούμε πάνω σε δοθέν κύκλο $\displaystyle{(O)}$ τα σημεία $\displaystyle{A }$ και $\displaystyle{B}$ , μεταβλητό σημείο $\displaystyle{P}$ της ευθείας $\displaystyle{AB}$ και τους κύκλους $\displaystyle{(K)}$ και $\displaystyle{(L)}$ ,
τους διερχόμενους από το $\displaystyle{P}$ κι εφαπτόμενους του $\displaystyle{(O)}$ στα σημεία $\displaystyle{A }$ και $\displaystyle{B}$ αντίστοιχα. Να δείξετε οτι:
α) Οι κύκλοι $\displaystyle{(K)}$ και $\displaystyle{(L)}$ τέμνονται υπό σταθερή γωνία (*)
β) Αν $\displaystyle{N}$ είναι το άλλο κοινό τους σημείο, η ευθεία $\displaystyle{PN}$ διέρχεται από σταθερό σημείο.
Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου $\displaystyle{ N}$ ;
γ) Έστω $\displaystyle{(C)}$ και $\displaystyle{(C')}$ οι κύκλοι οι εφαπτόμενοι των τριων κύκλων $\displaystyle{ (O), (K) ,(L) }$ .
Κάθε ευθεία που ορίζεται από το $\displaystyle{P}$ και από ένα από τα σημεία επαφής των $\displaystyle{(C) ,(C')}$ και $\displaystyle{(K) ,(L)}$ διέρχεται από σταθερό σημείο.
δ) Οι κύκλοι $\displaystyle{(C)}$ και $\displaystyle{(C') }$ μένουν ορθογώνιοι προς σταθερό κύκλο και εφάπτονται σε σταθερό κύκλο, διαφορετικό του $\displaystyle{(O)}$ .
Ποιοι είναι οι γεωμετρικοί τόποι των σημείων επαφής των $\displaystyle{ (C) ,(C')}$ με τους $\displaystyle{(K) ,(L)}$ ;

* δηλαδή οι εφαπτόμενες των κύκλων στα κοινά τους σημεία, τέμνονται κατά σταθερή γωνία

: last 008.png (82.06 KiB) Προβλήθηκε 3515 φορές

Πηγή: ''Συμπλήρωμα Γεωμετρίας'' του Νίκου Χ. Βαρουχάκη, 1971

009. Δίνεται γωνία $\displaystyle{xOy}$ και σημείο $\displaystyle{P}$ της γωνίας. Ζητείται να κατασκευαστεί ευθεία που να διέρχεται από το $\displaystyle{P}$
και να τέμνει τις πλευρές $\displaystyle{Ox,Oy}$ της γωνίας $\displaystyle{ xOy}$ στα σημεία $\displaystyle{A,B}$ αντίστοιχα έτσι ώστε $\displaystyle{(OAB)=k^2}$ .

: last 009.png (18.06 KiB) Προβλήθηκε 3515 φορές

Πηγή: '' Γεωμετρία 1, η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας δια τον υποψήφιο θετικών επιστημών'' του Γιάννη Αθ. Ντάνη

edit
προσθήκη πηγής

parmenides51 · #3

010. Να δειχθεί οτι οι ευθείες που συνδέουν τα σημεία τομής του εγγεγραμμένου κύκλου σε τρίγωνο με τις απέναντι κορυφές διέρχονται από το ίδιο σημείο.

: last 010.png (23.07 KiB) Προβλήθηκε 3493 φορές

Πηγή: ''Στοιχεία Γεωμετρίας'' του Αθανασίου Σ. Κουκλάδα, 1963

011. Δίνονται δυο ομόκεντροι κύκλοι, κέντρου $\displaystyle{O}$ .
Έστω $\displaystyle{OA}$ μια ακτίνα του πρώτου κύκλου και $\displaystyle{OB}$ μια ακτίνα του δεύτερου κάθετη στην πρώτη ακτίνα.
Από τα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ αντίστοιχα φέρνουμε παράλληλες προς δυο διευθύνσεις $\displaystyle{(\alpha)}$ και $\displaystyle{(\beta)}$ με $\displaystyle{(\alpha) \perp (\beta)}$ .
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των δυο αυτών παραλλήλων
όταν η ορθή $\displaystyle{\widehat{AOB}}$ περιστρέφεται γύρω από το $\displaystyle{O}$ .

: last 011.png (68.05 KiB) Προβλήθηκε 3493 φορές

Πηγή: ''Γεωμετρία, Επιπεδομετρία, τεύχος Α'' (2η έκδοση) του Αναστάσιου Ι. Σκιαδά, 1973

012. Έστω $\displaystyle{OAB}$ ένα ορθογώνιο στο $\displaystyle{B}$ και ισοσκελές τρίγωνο , του οποίου η μια πλευρά ανήκει πάνω σε μια ευθεία $\displaystyle{x'x}$ .
Εαν $\displaystyle{(K)}$ είναι ο κύκλος ο εφαπτόμενος στην ευθεία $\displaystyle{x'x }$ του οποίου η πολική του $\displaystyle{O}$ ως προς τον κύκλο αυτόν διέρχεται από το $\displaystyle{A}$ :
Να δείξετε οτι οι κύκλοι $\displaystyle{(K)}$ μένουν εφαπτόμενοι σε έναν σταθερό κύκλο.
Να βρείτε το σύνολο των θέσεων των κέντρων των κύκλων αυτών.

: last 012.png (63.36 KiB) Προβλήθηκε 3493 φορές

Πηγή: ''Συμπλήρωμα Γεωμετρίας'' του Νικόλαου Πνευματικού, 1974

013. Διατέμνουσα τέμνει στα $\displaystyle{D,E,Z}$ τις πλευρές $\displaystyle{AB,AC,BC}$ τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ .
Ορίζουμε τα συζυγή αρμονικά $\displaystyle{D',E',Z' }$ των σημείων $\displaystyle{D,E,Z }$ ως προς κάθε πλευρά που περιέχει καθένα από αυτά.
Να δείξετε οτι οι ευθείες $\displaystyle{AZ',BE',CD' }$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Πηγή: ''Στοιχεία Γεωμετρίας'' του Αθανασίου Σ. Κουκλάδα, 1963

014. Τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{(O,R)}$ και περιγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{(I,r)}$ .
Αν $\displaystyle{OI=x}$ , να δειχθεί οτι $\displaystyle{\frac{1}{(R+x)^2}+\frac{1}{(R-x)^2}=\frac{1}{r^2}}$

: last 014.png (41.02 KiB) Προβλήθηκε 3493 φορές

Πηγή: ''Γεωμετρικές Μεθοδεύσεις'' του Γ.Β. Μυλωνά, 1976

015. Να κατασκευαστεί τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ γνωρίζοντας το ύψος $\displaystyle{AH}$ , την διάμεσο $\displaystyle{AM}$ και τον λόγο $\displaystyle{\frac{AB-AC}{BC}=\frac{\mu}{\nu}}$ .

: last 015.png (16.56 KiB) Προβλήθηκε 3493 φορές

Πηγή: θα την συμπληρώσω αφού λυθεί

edit: προσθήκη πηγών

parmenides51 · #4

016. Να κατασκευαστεί εγγράψιμο σε κύκλο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ , αν γνωρίζουμε το γινόμενο $\displaystyle{AB\cdot BC=k^2}$ , την διαγώνιο $\displaystyle{AC}$ , το ύψος $\displaystyle{BE}$ του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ και το σημείο τομής $\displaystyle{Z}$ της διαγωνίου $\displaystyle{AC}$ με την διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{\widehat{ADC}}$ .

: last 016.png (27.59 KiB) Προβλήθηκε 3363 φορές

Πηγή: θα την συμπληρώσω αφού λυθεί

017. Θεωρούμε τέσσερις ευθείες $\displaystyle{a,b,c,d}$ οι οποίες θεωρούμενες ανά δυο τέμνονται και θεωρούμενες ανα τρεις δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο.
Συμβολίζουμε με $\displaystyle{T_a,T_b,T_c,T_d }$ τα τρίγωνα τα οποία ορίζονται από τις ευθείες $\displaystyle{(b,c,d),(c,d,a),(d,a,b),(a,b,c)}$ αντίστοιχα
και με $\displaystyle{S_a,S_b,S_c,S_d}$ τις ευθείες Euler των τριγώνων αυτών αντίστοιχα. Να αποδειχθεί οτι
α) Αν η ευθεία $\displaystyle{a}$ είναι παράλληλη προς την $\displaystyle{S_a}$ , τότε οι $\displaystyle{b,c,d}$ θα είναι παράλληλες προς τις $\displaystyle{S_b,S_c,S_d}$ αντίστοιχα
β) Αν η ευθεία $\displaystyle{d}$ είναι η ευθεία Euler του τριγώνου $\displaystyle{T_d}$ , τότε οι ευθείες Euler των τριγώνων $\displaystyle{T_a,T_b,T_c}$ ορίζουν τρίγωνο ίσο με το $\displaystyle{T_d}$ , του οποίου ευθεία Euler είναι η $\displaystyle{d}$
γ) Αν η ευθεία $\displaystyle{d}$ είναι τυχαία ευθεία διερχόμενη από το κέντρο βάρους $\displaystyle{G_d}$ του τριγώνου $\displaystyle{ T_d}$ και είναι $\displaystyle{G_a,G_b,G_c }$ τα κέντρα βάρους των $\displaystyle{T_a,T_b,T_c}$ αντίστοιχα,
τότε οι παράλληλες που διέρχονται από τα $\displaystyle{G_a,G_b,G_c}$ προς τις $\displaystyle{a,b,c}$ αντίστοιχα ορίζουν τρίγωνο ίσο με το $\displaystyle{T_d}$ .

Πηγή: θα την συμπληρώσω αφού λυθεί

018. Εαν περιγράψουμε κύκλους στα τρίγωνα, που δημιουργούνται από καθεμία από τις πλευρές πενταγώνου και τις προεκτάσεις των προσκείμενων σε αυτήν πλευρών του, τα πέντε σημεία τομής των κύκλων αυτών είναι σημεία ομοκυκλικά.

: last 018.png (117.33 KiB) Προβλήθηκε 3254 φορές

Πηγή: ''Η Θεωρία της Γεωμετρικής Ασκήσεως, τόμος Α΄, Επίπεδος Γεωμετρία, Βιβλια Ι-ΙΙ'' του Διον. Ι. Λιβέρη ,1967
+ ''Γεωμετρία 3 : Κύκλος'' του Ιωάννη Ιωαννίδη

019. Από τις κορυφές $\displaystyle{A }$ και $\displaystyle{B }$ και μετά από τις κορυφές $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{C}$ ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου $\displaystyle{ABCD}$ γράφουμε κύκλους που τέμνονται στο $\displaystyle{E}$ και τέμνουν τις πλευρές $\displaystyle{AD}$ και $\displaystyle{CD$ στα σημεία $\displaystyle{Z}$ και $\displaystyle{ H}$ αντίστοιχα.
α) Να δειχθεί οτι τα τρια σημεία $\displaystyle{E,Z,H}$ είναι συνευθειακά.
β) Αν οι ευθείες $\displaystyle{BZ}$ και $\displaystyle{BH }$ τέμνουν στα $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{I}$ τον περιγεγραμμένο κύκλο, ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{A,E,C}$ θα διέρχεται και από το κοινό σημείο $\displaystyle{L}$ των $\displaystyle{CK}$ και $\displaystyle{AI}$ και επιπλέον το σημείο $\displaystyle{L}$ θα βρίσκεται πάνω στην ευθεία $\displaystyle{EZH}$ .
Από αυτό έπεται οτι στο εγγεγραμμένο εξάγωνο $\displaystyle{AKDCIB }$ , τα κοινά σημεία των απέναντι πλευρών $\displaystyle{AD}$ και $\displaystyle{ KB, DC}$ και $\displaystyle{BI, CK}$ και $\displaystyle{ IA}$ είναι συνευθειακά.

: last 019.png (93.98 KiB) Προβλήθηκε 3253 φορές

Πηγή: θα την συμπληρώσω αφού λυθεί

020. Να κατασκευασθεί τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ του οποίου δίνονται $\displaystyle{\alpha,\upsilon_{\alpha}}$ και $\displaystyle{MH\cdot MD=\lambda^2}$ , όπου $\displaystyle{\lambda}$ δοθέν ευθύγραμμο τμήμα, $\displaystyle{M}$ μέσο της πλευράς $\displaystyle{BC}$ , $\displaystyle{AH}$ ύψος και $\displaystyle{AD}$ διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{ \widehat{A}}$ .

: last 020.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 3251 φορές

Πηγή: θα την συμπληρώσω αφού λυθεί

021. Να κατασκευασθεί τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ από τα στοιχεία: γωνίες $\displaystyle{\widehat{A},\widehat{B}}$ και κέντρα $\displaystyle{O_1,O_2,O_3,O_4}$ των κύκλων $\displaystyle{KAB,KBC,KCD,KDA}$
( $\displaystyle{K}$ το κοινό σημείο των διαγωνίων του $\displaystyle{ABCD}$ )

: last 021.png (40.64 KiB) Προβλήθηκε 3247 φορές

Πηγή: θα την συμπληρώσω αφού λυθεί

edit
προσθήκη πηγής

parmenides51 · #5

022. Δίνεται κύκλος $\displaystyle{(O)}$ , μια διάμετρος του $\displaystyle{AB}$ κι ένα σημείο $\displaystyle{T}$ της διαμέτρου. Στο σημείο $\displaystyle{A}$ φέρνουμε εφαπτομένη $\displaystyle{(\varepsilon)}$ . Θεωρούμε ορθή γωνία που έχει την κορυφή της στο $\displaystyle{T}$ και της οποίας οι πλευρές τέμνουν την $\displaystyle{(\varepsilon)}$ στα $\displaystyle{P}$ και $\displaystyle{S}$ . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής $\displaystyle{M}$ των εφαπτομένων των αγόμενων στον κύκλο από τα $\displaystyle{P}$ και $\displaystyle{S}$ , όταν η ορθή γωνία περιστρέφεται γύρω από το $\displaystyle{T}$ .

: last 022.png (30.53 KiB) Προβλήθηκε 3226 φορές

Πηγή: θα την συμπληρώσω αφού λυθεί

023.Δίνεται κύκλος με ακτίνα $\displaystyle{2R}$ . Άλλος κύκλος με ακτίνα $\displaystyle{R}$ κυλιέται στο εσωτερικό του πρώτου μένοντας συνεχώς εφαπτόμενος σε αυτόν. Να δειχθεί οτι ο γεωμετρικός τόπος κάθε σημείου του κυλιόμενου κύκλου είναι μια διάμετρος του μεγάλου κύκλου.

: last 023_.png (33.74 KiB) Προβλήθηκε 2813 φορές

Πηγή: ''Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής, Μαθηματικός Συλλογισμός, Γεωμετρικοί Τόποι, Γεωμετρικές Κατασκευές'' του Κ.Σ. Ευμορφόπουλου

024. Δίνεται κύκλος $\displaystyle{(O,R) }$ και σημείο $\displaystyle{A}$ . Αν το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ μεταβάλλεται έτσι ώστε να παραμένει όμοιο και η κορυφή του $\displaystyle{B}$ να κινείται πάνω στην περιφέρεια $\displaystyle{(O,R)}$ . Ζητείται ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής $\displaystyle{C}$ .

: last 024.png (21.17 KiB) Προβλήθηκε 3153 φορές

Πηγή: Πηγή: '' Γεωμετρία 1, η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας δια τον υποψήφιο θετικών επιστημών'' του Γιάννη Αθ. Ντάνη

025. Δίνονται δυο ομόκεντροι κύκλοι των οποίων έστω $\displaystyle{O}$ το κέντρο και μια ημιευθεία από το $\displaystyle{O}$ . Έστω $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{A΄}$ τα κοινά σημεία της ημιευθείας αυτής με τους δοθέντες κύκλους αντίστοιχα ( $\displaystyle{A}$ μεταξύ των $\displaystyle{O}$ και $\displaystyle{A' }$ ). Θεωρούμε τυχαία από το $\displaystyle{O}$ ημιευθεία και ονομάζουμε $\displaystyle{C}$ και $\displaystyle{C' }$ τα κοινά της σημεία με τους δοθέντες κύκλους ( $\displaystyle{C}$ μεταξύ των $\displaystyle{O}$ και $\displaystyle{C'}$ ) αντίστοιχα και $\displaystyle{M}$ το κοινό σημείο των ευθειών $\displaystyle{AC'}$ και $\displaystyle{A'C}$ . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{M}$ .

: last 025.png (14.93 KiB) Προβλήθηκε 3151 φορές

Πηγή: θα την συμπληρώσω αφού λυθεί

026. Θεωρούμε κύκλο $\displaystyle{c_1 (O,R)}$ και σημείο του $\displaystyle{A}$ . Αν $\displaystyle{P}$ μεταβλητό σημείο του $\displaystyle{c_1, B}$ το μέσο του $\displaystyle{AP}$ και $\displaystyle{C,D}$ τα κοινά σημεία του κύκλου $\displaystyle{c_1}$ με το κύκλο $\displaystyle{c_2(P,PB)}$ , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του κοινού σημείου $\displaystyle{M}$ των $\displaystyle{PA,CD}$ .

: last 026.png (24.87 KiB) Προβλήθηκε 3149 φορές

Πηγή: θα την συμπληρώσω αφού λυθεί

edit: προσθήκη πηγών κι αλλαγή εκφώνησης στην 023

parmenides51 · #6

027. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και σημείο $\displaystyle{M}$ της υποτείνουσας $\displaystyle{BC}$ . Φέρνουμε τις $\displaystyle{MD,ME}$ καθέτες στις $\displaystyle{AB,AC}$ αντίστοιχα. Να δειχθεί οτι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο $\displaystyle{MDAE}$ διέρχεται από σταθερό σημείο $\displaystyle{S}$ και να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του συμμετρικού του $\displaystyle{S}$ ως προς την $\displaystyle{MD}$ .

: last 027.png (194.32 KiB) Προβλήθηκε 3091 φορές

Πηγή: ''Θεωρητική Γεωμετρία, μέρος Α' βιβλία Α' και Β' '' των Α. Κουτουμάνου και Σ. Πάχη, 1966

028. Πάνω σε δυο ευθείες $\displaystyle{AC}$ και $\displaystyle{BD}$ κάθετες στην ευθεία $\displaystyle{AB}$ , παίρνουμε τα σημεία $\displaystyle{C}$ και $\displaystyle{D}$ αντίστοιχα ώστε να είναι $\displaystyle{(AC)(BD)=(AB)^2}$
α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής $\displaystyle{M}$ των ευθειών $\displaystyle{AD}$ και $\displaystyle{ BC}$
β) Να αποδειχθεί οτι η ευθεία $\displaystyle{MP}$ , η οποία συνδέει το σημείο $\displaystyle{M}$ με το σημείο $\displaystyle{P}$ της τομής των $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{CD}$ εφάπτεται του παραπάνω τόπου.

: last 028 a.png (38.7 KiB) Προβλήθηκε 3065 φορές

: last 028 b.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 3065 φορές

Πηγή: θα την συμπληρώσω αφού λυθεί

029. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ του οποίου οι κορυφές $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{C}$ είναι σταθερές και η γωνία $\displaystyle{\widehat{A} }$ είναι σταθερού μέτρου. Από το μέσο $\displaystyle{M}$ της $\displaystyle{AB}$ φέρνουμε την $\displaystyle{ME}$ (το $\displaystyle{E\in AC}$ ) ώστε η γωνία $\displaystyle{\widehat{MEC}}$ να είναι σταθερού μέτρου. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του ορθόκεντρου, του έγκεντρου και του περίκεντρου του τριγώνου $\displaystyle{AME}$ . Εαν με πλευρά $\displaystyle{AE}$ κατασκευάσουμε τετράγωνο $\displaystyle{AEDZ}$ , να βρεθούν οι γεωμετρικοί τόποι των $\displaystyle{D}$ και $\displaystyle{Z}$ .

: last 029.png (26.52 KiB) Προβλήθηκε 3064 φορές

Πηγή: ''Γεωμετρία, Επιπεδομετρία, τεύχος Β'' του Αναστάσιου Ι. Σκιαδά, 2η έκδοση 1974

030. Θεωρούμε κύκλο $\displaystyle{(O)}$ και σημείο του $\displaystyle{A}$ . Γωνία σταθερού μεγέθους και κορυφής $\displaystyle{A}$ περιστρέφεται γύρω από το $\displaystyle{A}$ , οι πλευρές της τέμνουν τον $\displaystyle{(O)}$ στα $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{C}$ . Έστω $\displaystyle{A',B',C' }$ τα μέσα των πλευρών του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ , $\displaystyle{A''B''C'' }$ τα ίχνη των υψών του και $\displaystyle{H,N,G}$ το ορθόκεντρο, το κέντρο του κύκλου των εννέα σημείων και το βαρύκεντρο του τριγώνου ABC αντίστοιχα. Να αποδειχτεί οτι
α) οι $\displaystyle{A'B' }$ και $\displaystyle{A'C'}$ διέρχονται από σταθερά σημεία και να βρεθεί η περιβαλλούσα της $\displaystyle{B'C'}$
β) τα ύψη $\displaystyle{BH}$ και $\displaystyle{CH}$ διέρχονται από σταθερά σημεία και να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του $\displaystyle{H}$
γ) η $\displaystyle{B''C'' }$ έχει σταθερή διεύθυνση και οι ευθείες $\displaystyle{A''B'',A''C''}$ έχουν ως περιβαλλούσα έναν κύκλο
δ) ο κύκλος $\displaystyle{(N) }$ των εννιά σημείων εφάπτεται δυο ορισμένων κύκλων

: last 030.png (34.16 KiB) Προβλήθηκε 3062 φορές

Πηγή: ''Γεωμετρία, Επιπεδομετρία, τεύχος Β'' του Αναστάσιου Ι. Σκιαδά, 2η έκδοση 1974

parmenides51 · #7

031. 'Έστω ένα πλήρες τετράπλευρο $\displaystyle{ABCDEZ}$ . Δείξτε ότι
α) τα $\displaystyle{3}$ μέσα $\displaystyle{O_1,O_2,O_3}$ των $\displaystyle{3}$ διαγωνίων του $\displaystyle{AC,BD,EZ}$ ανήκουν στην ίδια ευθεία $\displaystyle{(e_1)}$
β) τα $\displaystyle{4}$ ορθόκεντρα $\displaystyle{H_1,H_3,H_3,H_4}$ των $\displaystyle{4}$ τριγώνων $\displaystyle{AED,ABZ,BEC,CDZ}$ ανήκουν στην ίδια ευθεία $\displaystyle{(e_2)}$
γ) οι ευθείες $\displaystyle{(e_1)}$ και $\displaystyle{(e_2)}$ είναι κάθετες

: last 031.png (62.87 KiB) Προβλήθηκε 2987 φορές

Πηγή: ''Μέθοδοι Επιλύσεως Γεωμετρικών Προβλημάτων'' του Άριστου Δημητρίου, 1η έκδοση 1972 (5η 1976 ίδιες)

032. 'Έστω κυρτό τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο.
α) Να δειχθεί οτι ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε τα γινόμενα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα (δηλ. $\displaystyle{AB\cdot CD=BC\cdot AD}$ ) είναι: οι εφαπτόμενες του περιγεγραμμένου του κύκλου που άγονται στα άκρα μιας διαγωνίου, να τέμνονται πάνω στον φορέα μιας άλλης διαγωνίου.
β) Εαν πληρείται η σχέση $\displaystyle{AB\cdot CD=BC\cdot AD}$ στο εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ , τότε εαν ληφθεί τυχαίο σημείο $\displaystyle{M}$ του περιγεγραμμένου σε αυτού κύκλου, οι τέσσερεις ευθείες $\displaystyle{MA,MB,MC,MD}$ τέμνουν κάθε ευθεία του επιπέδου σε τέσσερα σημεία αποτελούν αρμονική τετράδα.

: last 032.png (108.16 KiB) Προβλήθηκε 2987 φορές

Πηγή: θα την συμπληρώσω αφού λυθεί

033. Θεωρούμε κύκλο $\displaystyle{c_1(O_1,R_1)}$ και το σημείο $\displaystyle{ P}$ .
Αν $\displaystyle{O}$ μεταβλητό σημείο του $\displaystyle{ c_1}$ και $\displaystyle{A,B}$ τα κοινά σημεία του $\displaystyle{c_1}$ με τον κύκλο $\displaystyle{ c(O,OP)}$ ,
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της προβολής $\displaystyle{M}$ του $\displaystyle{P}$ στην ευθεία

.

: last 033.png (72.21 KiB) Προβλήθηκε 2987 φορές

Πηγή: ''Μεθοδολογία των Γεωμετρικών Τόπων'' του Γιάννη Ντάνη, 1977

034. Να κατασκευαστεί κύκλος, ο οποίος να φαίνεται από τρια δοθέντα σημεία υπό την ίδια γωνία.

: last 034.png (85.17 KiB) Προβλήθηκε 2987 φορές

Πηγή: θα την συμπληρώσω αφού λυθεί

... συνεχίζεται ...

συλλογή τελευταίων ασκήσεων από παλιά βιβλία

συλλογή τελευταίων ασκήσεων από παλιά βιβλία

Re: συλλογή τελευταίων ασκήσεων από βιβλία

Re: συλλογή τελευταίων ασκήσεων από παλιά βιβλία

Re: συλλογή τελευταίων ασκήσεων από παλιά βιβλία

Re: συλλογή τελευταίων ασκήσεων από παλιά βιβλία

Re: συλλογή τελευταίων ασκήσεων από παλιά βιβλία

Re: συλλογή τελευταίων ασκήσεων από παλιά βιβλία

Μέλη σε σύνδεση