τελευταία 024: γεωμετρικός τόπος κορυφής όμοιου τριγώνου

parmenides51 · #1

Συγκεντρώνονται εδώ

Δίνεται κύκλος $\displaystyle{(O,R) }$ και σημείο $\displaystyle{A}$ . Αν το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ μεταβάλλεται έτσι ώστε να παραμένει όμοιο και η κορυφή του $\displaystyle{B}$ να κινείται πάνω στην περιφέρεια $\displaystyle{(O,R)}$ . Ζητείται ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής $\displaystyle{C}$ .

: last 024.png (21.17 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές

Υ.Γ. Είναι λυμένη στο βιβλίο , η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

#2

parmenides51 έγραψε:Συγκεντρώνονται εδώ

Δίνεται κύκλος $\displaystyle{(O,R) }$ και σημείο $\displaystyle{A}$ . Αν το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ μεταβάλλεται έτσι ώστε να παραμένει όμοιο
και η κορυφή του $\displaystyle{B}$ να κινείται πάνω στην περιφέρεια $\displaystyle{(O,R)}$ . Ζητείται ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής $\displaystyle{C}$ .

Σκεφτόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Γεωμετρικός τόπος Κορυφής 1.PNG (17.84 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές

Στο ανωτέρω σχήμα έχουμε τον κύκλο $\displaystyle{(C_1)}$ καθώς και το σημείο $\displaystyle{A}$ εκτός αυτού τα οποία είναι τα σταθερά στοιχεία.

Ένα σημείο $\displaystyle{B}$ κινείται στον κύκλο αυτό $\displaystyle{(C_1)}$ και το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ κατά συνέπεια κινείται περιστρεφόμενο γύρω από το σταθερό σημείο $\displaystyle{A}$

όμως παραμένοντας πάντα όμοιο με τον εαυτό του. Άρα:

1ο) $\displaystyle{\hat{A}=\omega=ct}\ \ (1)$

2o) $\displaystyle{\frac{AC}{AB}=\lambda = ct\ \ (2)}$

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι το σημείο $\displaystyle{C}$ προκύπτει από το σημείο $\displaystyle{B}$ με τις εξής διαδικασίες:

α) Από μια ομοιοθεσία με κέντρο το σημείο $\displaystyle{A}$ και λόγο $\displaystyle{\lambda}$ η οποία οδηγεί το σημείο $\displaystyle{B}$ στη θέση $\displaystyle{B_o}$ .

β) Από μια στροφή με κέντρο το σημείο πάλι $\displaystyle{A}$ και γωνία ίση με $\displaystyle{\omega}$ που οδηγεί το το $\displaystyle{B_o}$ στη θέση $\displaystyle{C}$ .

Επομένως για κάθε θέση του σημείου $\displaystyle{B}$ προκύπτει κι ένα σημείο $\displaystyle{C}$ ώστε το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ να παραμένει όμοιο με τον εαυτό του.

Επομένως το τελικό σημείο $\displaystyle{C}$ ανήκει σε έναν κύκλο $\displaystyle{(C_3)}$

που παράγεται απο τον $\displaystyle{(C_1)}$ με μια ομοιοθεσία που τον οδηγεί στη θέση $\displaystyle{(C_2)}$ και μια στροφή που οδηγεί τον $\displaystyle{(C_2)}$ στον $\displaystyle{(C_3)}$

Παρατήρηση:
Η θέση του σημείου $\displaystyle{A}$ μπορεί να είναι και στο εσωτερικό του κύκλου $\displaystyle{(C_1)}$ αλλά και πάνω σ' αυτόν. Πάντα ο γ.τ. θα είναι κύκλος.

Κώστας Δόρτσιος

parmenides51 · #3

επειδή η τελευταία άσκηση που είχα προτείνει από το ίδιο βιβλίο εδώ ήταν κατασκευή,
πρότεινα άλλη μια άσκηση από το ίδιο βιβλίο, την τελευταία πριν αρχίσουν οι κατασκευές
(και πριν την παράγραφο με τους ριζικούς άξονες και τα ριζικά κέντρα)
η παραπάνω άσκηση είναι η 815 (σελ.310) από το βιβλίο του Γιάννη Αθ. Ντάνη με τίτλο
Γεωμετρία 1,
η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας δια τον υποψήφιο θετικών επιστημών,
600 επεξεργασμένα ειδικά θέματα κι ασκήσεις
έχει 368 σελίδες Επιπεδομετρία, θεωρία και ασκήσεις όλες λυμένες ή με υποδείξεις

τελευταία 024: γεωμετρικός τόπος κορυφής όμοιου τριγώνου

τελευταία 024: γεωμετρικός τόπος κορυφής όμοιου τριγώνου

Re: τελευταία 024: γεωμετρικός τόπος κορυφής όμοιου τριγώνου

Re: τελευταία 024: γεωμετρικός τόπος κορυφής όμοιου τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση