τελευταία 022: γεωμετρικός τόπος τομής εφαπτομένων

parmenides51 · #1

Επειδή οι γεωμετρικές κατασκευές είναι εξεζητημένο θέμα ακόμα και για μαθηματικούς διαγωνισμούς, σε όσα βιβλία η τελευταία άσκηση που προτείνω περιέχει κατασκευή, θα προτείνω και την τελευταία του άσκηση του εκάστοτε βιβλίου που δεν είναι κατασκευή, προσδοκώντας σε μεγαλύτερη συμμετοχή.

Συγκεντρώνονται εδώ

Δίνεται κύκλος $\displaystyle{(O)}$ , μια διάμετρος του $\displaystyle{AB}$ κι ένα σημείο $\displaystyle{T}$ της διαμέτρου. Στο σημείο $\displaystyle{A}$ φέρνουμε εφαπτομένη $\displaystyle{(\varepsilon)}$ . Θεωρούμε ορθή γωνία που έχει την κορυφή της στο $\displaystyle{T}$ και της οποίας οι πλευρές τέμνουν την $\displaystyle{(\varepsilon)}$ στα $\displaystyle{P}$ και $\displaystyle{S}$ . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής $\displaystyle{M}$ των εφαπτομένων των αγόμενων στον κύκλο από τα $\displaystyle{P}$ και $\displaystyle{S}$ , όταν η ορθή γωνία περιστρέφεται γύρω από το $\displaystyle{T}$ .

: last 022.png (30.53 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές

Υ.Γ. Είναι άλυτη στο βιβλίο , η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

S.E.Louridas · #2

Είναι Όμορφος αλλά και δύσκολος, κατά την άποψη μου, γ.τόπος.

Μπορούμε να δούμε ότι ισχύει: $AS \cdot AP = SF \cdot FP = AT^2 ,$ όταν σαν

θεωρήσουμε το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
SMP

με την

.
Έτσι οδηγούμαστε στη συνεπαγωγή $\displaystyle{\frac{r}{{TA}} = \frac{{TA}}{{r_a }} \Rightarrow r = \frac{{TA^2 }}{{r_a }},\quad ct.\,.}$
Επομένως το έκκεντρο

του τριγώνου MSP

κινείται σε σταθερή ευθεία παράλληλη στην

και επειδή ισχύει $\displaystyle{\frac{{MI}}{{MO}} = \frac{r}{{r_a }}}$ , το σημείο

κινείται σε σταθερή ευθεία επίσης παράλληλη στη

.

τελευταία 022: γεωμετρικός τόπος τομής εφαπτομένων

τελευταία 022: γεωμετρικός τόπος τομής εφαπτομένων

Re: τελευταία 022: γεωμετρικός τόπος τομής εφαπτομένων

Μέλη σε σύνδεση