Πιο σφιχτή από AM-GM και CS!

G.Bas · #1

Εμπνευσμένος από εδώ σκέφτηκα την παρακάτω Ανισότητα.

Αν a,b,c

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}\geq 4.}$

Η κατασκευή της βασίζεται στην Ανισότητα Cauchy-Schwarz.

billtoub · #2

Αρχικά ισχύουν ότι :

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{bc}+\frac{c^2}{ca}\geq\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=\frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca}$

$\frac{(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}\geq\frac{3(ab+bc+ca)}{3(a^2+b^2+c^2)}=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$

Άρα , αρκεί ν.δ.ο. :

$\frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\geq4$ (1)

Έστω : a^2+b^2+c^2=x

και

Έτσι η (1) γίνεται :

$\frac{x+2y}{y}+\frac{y}{x}\geq4 \Leftrightarrow x(x+2y)+y^2\geq4xy \Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\geq4xy \Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\geq0 \Leftrightarrow (x-y)^2\geq0$

,που προφανώς ισχύει.

Η ισότητα ισχύει όταν a=b=c

G.Bas · #3

Ωραία!

Η παραπάνω μέθοδος δουλεύει και για την παρακάτω;

Αν a,b,c>0

τότε

$\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\geq 6.}$

asxetos · #4

G.Bas έγραψε:Ωραία!

Η παραπάνω μέθοδος δουλεύει και για την παρακάτω;

Αν τότε

$\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}\geq 6.}$

Εφόσον η ανισότητα είναι κυκλική, μπορούμε να θεωρήσουμε $\displaystyle{ c=min \{ a,b,c \} }$ . Τώρα όμως η ανισότητα είναι ισοδύναμη με την:
$\displaystyle{ \frac{(a-b)^2((a-b)^2+c^2)}{ab(a^2+b^2+c^2)}+\frac{(a-c)(b-c)((a-c)^2+b^2)}{ac(a^2+b^2+c^2)} \geq 0 }$ , που προφανώς ισχύει.

Πιο σφιχτή από AM-GM και CS!

Πιο σφιχτή από AM-GM και CS!

Re: Πιο σφιχτή από AM-GM και CS!

Re: Πιο σφιχτή από AM-GM και CS!

Re: Πιο σφιχτή από AM-GM και CS!

Μέλη σε σύνδεση