Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Bill Μέγιστος · #1

Γεια σας.Πριν λίγο καιρό στο διαγώνισμα του σχολείου μου μπήκε η εξής άσκηση που προβλημάτισε έμενα και κάποιους συμμαθητές μου.
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x}+lnx$
1)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
2)Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση έχει αντιστρέφεται.
3)Να υπολογίσετε το όριο $\lim_{y\rightarrow1}\frac{f^{-1}(y)-1}{y-lnx-1}$

Το τελευταίο ζήτημα ήταν βεβαίως αυτό που προκάλεσε όλο τον πανικό καθώς παρουσιάστηκε το ερώτημα του αν πρέπει να θεωρήσουμε σταθερό το lnx

.Η προσωπική μου λύση ήταν αυτή:
1) $D_f=(0,+\infty )$
2) $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x} >0$ άρα η

γνησίως αύξουσα,επομένως και ''1-1" και αντιστρέφεται.
3)Αρχικά απέδειξα κάτι που θα χρησιμοποιούσα αργότερα:
Η εξίσωση f(x)=1

έχει λύση την x=1

και αφού η

γνησίως αύξουσα είναι και μοναδική λύση.(Θέση 1)
Στο ζητούμενο όριο θέτω f(x)=y

και διότι όταν $y\rightarrow 1\Leftrightarrow f(x)\rightarrow 1\Leftrightarrow x\rightarrow 1$ (Λόγω της θέσης 1),έγραψα το όριο ως εξής:
$\lim_{y\rightarrow1} \frac{f^{-1}(y)-1}{y-lnx-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f^{-1}(f(x))-1}{f(x)-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1}=2$
Δεν πίστευα ότι ήταν σωστή αυτή η λύση επειδή δεν ήξερα αν μπορώ να αντικαταστήσω το $\lim_{f(x)\rightarrow 1}$ με $\lim_{x\rightarrow 1}$ έτσι απλά.Παρά όλα αυτά η καθηγήτρια μου μου είπε ότι η λύση αυτή είναι σωστή και έτσι δεν έδωσε περαιτέρω σημασία μέχρι που ένας φίλος μου μου έδειξε την δική του λύση που φαίνονταν εξίσου σωστή.Αρχικά απέδειξε ότι : $f^{-1}(1)=1$ διότι f(1)=1

και θεωρώντας το

στο όριο σταθερό είπε:
$\lim_{y\rightarrow 1}\frac{f^{-1}(y)-1}{y-lnx-1}=\frac{1-1}{1-1-lnx}=\frac{0}{lnx}=0$
Ποια είναι η σωστή λύση???

#2

Bill Μέγιστος έγραψε:....
Δεν πίστευα ότι ήταν σωστή αυτή η λύση επειδή δεν ήξερα αν μπορώ να αντικαταστήσω το $\lim_{f(x)rightarrow1$ } με $\lim_{x\rightarrow1}$ έτσι απλά.Παρά όλα αυτά η καθηγήτρια μου μου είπε ότι η λύση αυτή είναι σωστή και έτσι δεν έδωσε περαιτέρω σημασία μέχρι που ένας φίλος μου μου έδειξε την δική του λύση που φαίνονταν εξίσου σωστή.Αρχικά απέδειξε ότι :
$f^{-1}(1)=1$ (διότι και θεωρώντας το $\color{red}x$ στο όριο σταθερό είπε:
$\lim_{y\rightarrow1}\frac{f^{-1}(y)-1}{y-(lnx+1)}=\frac{1-1}{1-1-lnx}=\frac{0}{lnx}=0$

Ποια είναι η σωστή λύση???

Καλημέρα. Εδώ έχουμε πρόβλημα. Το

φυσικά και μεταβάλλεται όταν μεταβάλλονται τα υπόλοιπα.

Tolaso J Kos · #3

chris_gatos έγραψε:
Bill Μέγιστος έγραψε:....
Δεν πίστευα ότι ήταν σωστή αυτή η λύση επειδή δεν ήξερα αν μπορώ να αντικαταστήσω το $\lim_{f(x)rightarrow1$ } με $\lim_{x\rightarrow1}$ έτσι απλά.Παρά όλα αυτά η καθηγήτρια μου μου είπε ότι η λύση αυτή είναι σωστή και έτσι δεν έδωσε περαιτέρω σημασία μέχρι που ένας φίλος μου μου έδειξε την δική του λύση που φαίνονταν εξίσου σωστή.Αρχικά απέδειξε ότι :
$f^{-1}(1)=1$ (διότι και θεωρώντας το $\color{red}x$ στο όριο σταθερό είπε:
$\lim_{y\rightarrow1}\frac{f^{-1}(y)-1}{y-(lnx+1)}=\frac{1-1}{1-1-lnx}=\frac{0}{lnx}=0$

Ποια είναι η σωστή λύση???
Καλημέρα. Εδώ έχουμε πρόβλημα. Το φυσικά και μεταβάλλεται όταν μεταβάλλονται τα υπόλοιπα.

κ. Χρήστο καλημέρα,
γιατί μεταβάλλεται το $\displaystyle{x}$ ; Η μεταβλητή του ορίου είναι το $\displaystyle{y}$ . Ίσως να μην καταλαβαίνω κάτι.

#4

Tolaso J Kos έγραψε:
chris_gatos έγραψε:
Bill Μέγιστος έγραψε:....
Δεν πίστευα ότι ήταν σωστή αυτή η λύση επειδή δεν ήξερα αν μπορώ να αντικαταστήσω το $\lim_{f(x)rightarrow1$ } με $\lim_{x\rightarrow1}$ έτσι απλά.Παρά όλα αυτά η καθηγήτρια μου μου είπε ότι η λύση αυτή είναι σωστή και έτσι δεν έδωσε περαιτέρω σημασία μέχρι που ένας φίλος μου μου έδειξε την δική του λύση που φαίνονταν εξίσου σωστή.Αρχικά απέδειξε ότι :
$f^{-1}(1)=1$ (διότι και θεωρώντας το $\color{red}x$ στο όριο σταθερό είπε:
$\lim_{y\rightarrow1}\frac{f^{-1}(y)-1}{y-(lnx+1)}=\frac{1-1}{1-1-lnx}=\frac{0}{lnx}=0$

Ποια είναι η σωστή λύση???
Καλημέρα. Εδώ έχουμε πρόβλημα. Το φυσικά και μεταβάλλεται όταν μεταβάλλονται τα υπόλοιπα.
κ. Χρήστο καλημέρα,
γιατί μεταβάλλεται το $\displaystyle{x}$ ; Η μεταβλητή του ορίου είναι το $\displaystyle{y}$ . Ίσως να μην καταλαβαίνω κάτι.

Μπορείς να μου πεις τι έχεις θέσει ως

;

BILLVED · #5

Θεωρώ ότι και οι δύο λύσεις έχουν πρόβλημα.
Καταρχήν η λύση του φίλου σου δεν είναι σωστή διότι δεν γνωρίζουμε ότι η $f^{-1}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{x=1.}$
Επίσης και η δική σου λύση δεν είναι σωστή διότι στο ζητούμενο όριο η μεταβλητή είναι το $\displaystyle{y}$ άρα το $\displaystyle{x}$ είναι αριθμός. Αν θέλεις να κάνεις αλλαγή μεταβλητής πρέπει να θέσεις y=f(u)

και όχι

διότι το $\displaystyle{x}$ αυτόματα από αριθμός μετατρέπεται σε μεταβλητή.
Θα ήθελα όμως και τη γνώμη και άλλων συναδέρφων για το δεύτερη δικαιολόγηση μου.

#6

BILLVED έγραψε:Θεωρώ ότι και οι δύο λύσεις έχουν πρόβλημα.

Η πρώτη λύση είναι σωστή. Δεν έχει πρόβλημα. Η δεύτερη είναι πολύ λάθος. Το σημειώνει επαρκέστατα ο Χρήστος παραπάνω και δεν θα έγραφα σχόλιο αν δεν ακολουθούσαν τα

BILLVED έγραψε: Επίσης και η δική σου λύση δεν είναι σωστή διότι στο ζητούμενο όριο η μεταβλητή είναι το $\displaystyle{y}$ άρα το $\displaystyle{x}$ είναι αριθμός. Αν θέλεις να κάνεις αλλαγή μεταβλητής πρέπει να θέσεις και όχι διότι το $\displaystyle{x}$ αυτόματα από αριθμός μετατρέπεται σε μεταβλητή.

που είναι προβληματικά. Καλό είναι οι μαθητές που μας διαβάζουν να ξεκαθαρίσουν τις έννοιες. Για παράδειγμα να ξεκαθαρίσουν στο μυαλό τους ότι αν μεταβάλλεται το

, όπου

, δεν μπορεί το

να είναι σταθερό ας μην εμφανίζεται στην φράση $\displaystyle{\lim _{y\to 1}...}$

BILLVED · #7

Καλησπέρα. Με ποιο κριτήριο δεχόμαστε ότι το

του $\ln x$ είναι το ίδιο με αυτό του y=f(x)

; Αν στο ζητούμενο όριο αντί για $\ln x$ υπήρχε $\ln a$ , τότε θα θέταμε $y=f\left(\alpha \right)$ και θα είμαστε πάλι σωστοί;
Δεν το θεωρώ σωστό. Εκτός κι αν μου ξεφεύγει κάτι.
Προσωπικά θεωρώ ότι πρέπει να θέσουμε y=f(u)

να προκύψει $\frac{0}{lnx}$ και στη συνέχεια διερεύνηση για $lnx\neq 0$ και lnx=0

.

#8

Bill Μέγιστος έγραψε:Γεια σας.Πριν λίγο καιρό στο διαγώνισμα του σχολείου μου μπήκε η εξής άσκηση που προβλημάτισε έμενα και κάποιους συμμαθητές μου.
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x}+lnx$
1)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
2)Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση έχει αντιστρέφεται.
3)Να υπολογίσετε το όριο $\ln x$ είναι αριθμός για το όριο $\lim_{y\rightarrow1}\frac{f^{-1}(y)-1}{y-lnx-1}$

Στην πρώτη λύση υπάρχει το εξής λάθος θέτεις y=f(x)

πουθενά στην άσκηση ( Ερώτημα 3) δεν έχουμε την πληροφορία ότι ισχύει y=f(x)

ενώ θα έπρεπε να θέσεις $y=f(\alpha )$ και μετά να συνεχίσεις

Στην δεύτερη λύση δεν έχουμε την συνέχεια της αντιστροφής άρα και πάλι έχουμε λάθος .

Θέτεις λοιπόν $y=f(\alpha )$ και θα βγει .

Το $\ln x$ είναι αριθμός για το όριο $\lim_{y\rightarrow1}\frac{f^{-1}(y)-1}{y-lnx-1}$ .

BILLVED · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε:
BILLVED έγραψε:Θεωρώ ότι και οι δύο λύσεις έχουν πρόβλημα.
Η πρώτη λύση είναι σωστή. Δεν έχει πρόβλημα. Η δεύτερη είναι πολύ λάθος. Το σημειώνει επαρκέστατα ο Χρήστος παραπάνω και δεν θα έγραφα σχόλιο αν δεν ακολουθούσαν τα

BILLVED έγραψε: Επίσης και η δική σου λύση δεν είναι σωστή διότι στο ζητούμενο όριο η μεταβλητή είναι το $\displaystyle{y}$ άρα το $\displaystyle{x}$ είναι αριθμός. Αν θέλεις να κάνεις αλλαγή μεταβλητής πρέπει να θέσεις και όχι διότι το $\displaystyle{x}$ αυτόματα από αριθμός μετατρέπεται σε μεταβλητή.
που είναι προβληματικά. Καλό είναι οι μαθητές που μας διαβάζουν να ξεκαθαρίσουν τις έννοιες. Για παράδειγμα να ξεκαθαρίσουν στο μυαλό τους ότι αν μεταβάλλεται το , όπου , δεν μπορεί το να είναι σταθερό ας μην εμφανίζεται στην φράση $\displaystyle{\lim _{y\to 1}...}$

Μπορείτε να μου εξηγήσετε τι θεωρείτε προβληματικό σε αυτά που έγραψα;

gradion · #10

Θα ήθελα να πώ την γνώμη μου, πως σε όλα τα βιβλία βοηθήματα εννοείται πως είναι $y=f(x),f^{-1}$ συνεχής.Τώρα οι μαθητές πρέπει να καταλάβουμε ότι μπορεί και να μην είναι τελικά έτσι;
Nομίζω ο πρώτος μαθητής είναι σωστός και ο άλλος λάθος ,πάντα με ότι θεώρησα πιο πάνω οτι ισχύει .Αν είναι δυνατόν
να θεωρείται το lnx

,αριθμός ,σε ένα όριο .Ισως για καθηγητές και πάλι δύσκολο .Βλέπεται τι γίνεται.
Ευχαριστώ και πάντα με σεβασμό.

#11

Καλησπέρα ξανά. Πάντως μετά από όλα όσα γράφτηκαν και διαβαζοντάς τα θέλω να ρωτήσω το μέλος που έθεσε το θέμα.
Είναι όντως έτσι η εκφώνηση; Μήπως λείπει κάτι; Ακόμη κι αν θεωρήσουμε το lnx

αριθμό για ποιό λόγο να μην είναι το μηδέν;
Κι αν είναι μηδέν; Τι κάνουμε;

Πάντως αν μπορούσα να δώσω μία ονομασία στο θέμα, αυτή θα ήταν "τρικυμία εν κρανίω".

#12

Bill Μέγιστος έγραψε:Γεια σας.Πριν λίγο καιρό στο διαγώνισμα του σχολείου μου μπήκε η εξής άσκηση που προβλημάτισε έμενα και κάποιους συμμαθητές μου.
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x}+lnx$
1)Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
2)Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση έχει αντιστρέφεται.
3)Να υπολογίσετε το όριο $\lim_{y\rightarrow1}\frac{f^{-1}(y)-1}{y-lnx-1}$

Όπως είπε και ο Χρήστος στην αρχή , κάτι δεν κολλάει καλά στην άσκηση(στο τελευταίο ερώτημα). Θα ήθελα να δω την λύση του εισηγητή. Ούτε το

είναι (κανονικά) μεταβλητό -το αντίθετο επιβάλλει η θεωρία - ούτε η συνέχεια της αντίστροφης είναι δεδομένη(είναι όμως απαραίτητη στην αλλαγή μεταβλητής).

Μπάμπης

hsiodos · #13

Καλησπέρα σε όλους.

Αν το θέμα έχει τεθεί ως έχει (μπορεί ο συνάδελφος να έχει δώσει κάποια διευκρίνηση(;) ) τότε ο όρος $\displaystyle{\ln x}$ , που υπάρχει στον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle{g(y) = \frac{{f^{ - 1} (y) - 1}}{{y - \ln x - 1}}}$ ,
της οποίας ζητούμε το όριο όταν $\displaystyle{y \to 1}$ , πρέπει να θεωρηθεί ως σταθερά.

Θυμίζω το όριο $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g(x + h) - 2g(x) + g(x - h)}}{{h^2 }}}$ που υπήρχε στο τέταρτο θέμα του 2008. Αν θεωρήσουμε (το έπραξαν κάποιοι μαθητές) τον όρο $\displaystyle{{g(x)}}$ συνάρτηση θα οδηγηθούμε σε λάθος.

Αν συμφωνήσουμε λοιπόν ότι το $\displaystyle{\ln x}$ είναι αταθερά ,τότε θεωρώ το θέμα προβληματικό όπως και τις λύσεις που παρουσιάστηκαν.

Ακόμη τίποτα δεν εννοείται αν δεν είναι δεδομένο ή αν δεν προκύπτει από τα δεδομένα με απόδειξη.

Γιώργος

AIAS · #14

Είναι γνωστό ότι αν μια συνάρτηση

έχει αντίστροφη συνάρτηση ${f^{ - 1}}$ αυτή (
δηλαδή η ${f^{ - 1}}$ ) έχει για ανεξάρτητες μεταβλητές όλες τις τιμές του συνόλου τιμών της

.
Έτσι αν $f(x) = \sqrt x + \ln x$ και ζητάμε $\mathop {\lim }\limits_{k \to 1} \dfrac{{{f^{ - 1}}(k) - 1}}{{k - \ln x - 1}}$ το

προφανές παίρνει τις

εξαρτημένες μεταβλητές της

δηλαδή

.

Αν δεν σ αρέσει το σύμβολο

και θέλεις να το «βαπτίσεις» π.χ.

, ε τότε πάλι το $k = f(u)\, = \sqrt u + \ln u$ και προφανώς , λόγω «βάπτισης» αντί $\ln x$ θα είχαμε $\ln u$ δηλαδή θα ζητούσαμε :

$\mathop {\lim }\limits_{k \to 1} \dfrac{{{f^{ - 1}}(k) - 1}}{{k - \ln u - 1}}$ .

Μόνο αν ρητά και ενώ εξ αρχής είχε π. χ . $f(t) = \sqrt t + \ln t$ και μετά ζητούσε το
$\mathop {\lim }\limits_{k \to 1} \dfrac{{{f^{ - 1}}(k) - 1}}{{k - \ln x - 1}}$ θα λέγαμε k = f(t)

και το

θεωρείται πράγματι σταθερό .

Και για να μην γίνεται σύγχυση γραμμάτων :

Αν δίδεται $f(x) = \sqrt x + \ln x$ και ζητάμε $\mathop {\lim }\limits_{y \to 1} \dfrac{{{f^{ - 1}}(y) - 1}}{{y - \ln a - 1}}\,\,\,,a > 0$
ή στη θέση του a > 0

έχουμε οποιοδήποτε γράμμα εκτός από το

θα μιλούσαμε για σταθερό

και κατ’ επέκταση σταθερό $\ln a$

AIAS

#15

Νομίζω ότι ο μαθητής μας ρώτησε κάτι για το ξεκαθαρίσει και πιστεύω ότι τον μπερδέψαμε περισσότερο .
Ας γράψει κάποιος όλες τις δυνατές εκφωνήσεις για το 3 και να δώσουμε τις αντίστοιχες λύσεις .
Δεν είναι δυνατόν να διαφωνούμε στα βασικά.

#16

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Νομίζω ότι ο μαθητής μας ρώτησε κάτι για το ξεκαθαρίσει και πιστεύω ότι τον μπερδέψαμε περισσότερο .
Ας γράψει κάποιος όλες τις δυνατές εκφωνήσεις για το 3 και να δώσουμε τις αντίστοιχες λύσεις .
Δεν είναι δυνατόν να διαφωνούμε στα βασικά.

Κώστα διαφωνώ. Η εκφώνηση είναι ασαφής κι αν κάποιος μπερδεύτηκε είμαστε εμείς. Όπως και να το πιάσεις κάπου θα σηκώσεις τα χέρια ψηλά. Έγω προσωπικά το αφήνω είναι από τα θέματα που με απωθούν (εννοώ το να είναι ασαφώς διατυπωμένο). Υπάρχει και ο υπεύθυνος καθηγητής που το έθεσε στα παιδιά οπότε ας απευθυνθούν και σε εκείνον να δουν τι εννοούσε. Ως εδώ. Καλό βράδυ.

#17

Νομίζω, ότι το μόνο που λείπει από την εκφώνηση είναι η συνεχεία της αντίστροφης ( όχι βεβαία ότι εκφώνηση είναι η καλύτερη δυνατή )

Δίνω την λύση στην άσκηση (Με προσθήκη της συνέχειας) οποιοιδήποτε κριτική δεκτή .
Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{x}+lnx$
α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
β. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται.
γ. Αν η ${{f}^{-1}}$ είναι συνεχής
i). να υπολογίσετε το όριο $\underset{y\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{-1}}(y)-1}{y-\ln x-1}$
ii). να υπολογίσετε το όριο $\underset{y\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{-1}}(y)-1}{y-\ln x-1}$ όταν f(x)=y

.

Λύση

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Bill Μέγιστος · #18

Η εκφώνηση μας δόθηκε στο διαγώνισμα όπως ακριβώς την διατύπωσα χωρίς τίποτα περισσότερο.Η καθηγήτρια μας δεν μας έχει δώσει ακόμα κάποια λύση αν και μου είπε ότι η δική μου λύση ήταν η σωστή.Πιστεύω ότι γενικά το 3ο ζήτημα είναι λάθος διατυπωμένο.Παρά όλα αυτά είναι φανερό ότι αυτό που επιδιώχθηκε ήταν να καταλήξουμε στο $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$

Λάμπρος Μπαλός · #19

Εξαιρετικά προβληματικό από όπου και να το πιάσει κάποιος. Φαίνεται σωστό να πούμε ότι f(x)=y

λες και εννοείται κάτι τέτοιο. Σαφώς και τίποτα δεν εννοείται. Όπως δίνεται το όριο αφήνει να εννοηθεί ότι το γραμματάκι

δεν είναι παρά μία παράμετρος. Που και πάλι δεν ξεκαθαρίζει το τοπίο. Το μόνο που είναι σαφές εδώ μέσα είναι η "ασάφεια" και αρκετά ασχοληθήκαμε.
Τρικυμία εν κρανίω, θα συμφωνήσω με τον φίλο Χρήστο.

Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Re: Όριο με αντίστροφη συνάρτηση.

Μέλη σε σύνδεση