Εύρεση τύπου της f

Λάμπρος Μπαλός · #1

Η $f:R\rightarrow \left(0,+\propto \right)$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με f(0)=f'(0)=1

και $f''(x)=f(x)lnf(x)+\frac{(f'(x))^{2}}{f(x)}$ . Να βρεθεί ο τύπος της

.

STOPJOHN · #2

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Δευτ. Φεβ. 03, 2014 2:14 pm
Η f:R\rightarrow \left(0,+\propto \right) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με f(0)=f'(0)=1 και f''(x)=f(x)lnf(x)+\frac{(f'(x))^{2}}{f(x)}. Να βρεθεί ο τύπος της f.

$f''(x)-\frac{(f'(x))^{2}}{f(x)}=f(x)lnf(x)\Leftrightarrow (\frac{f'(x)}{f(x)})'=lnf(x)\Leftrightarrow (lnf(x))''=lnf(x)\Leftrightarrow g''(x)=g(x), όπου είναι g(x)=lnf(x)$

$g''(x)=g(x)\Leftrightarrow g''(x)+g'(x)=g'(x)+g(x)\Leftrightarrow g'(x)+g(x)=ce^{x}$

Για $x=0, c=1, g'(x)+g(x)=e^{x}\Leftrightarrow (g(x)e^{x})'=e^{2x}\Leftrightarrow g(x)e^{x}=\frac{1}{2}e^{2x}+c$
Για

$x=0,c=\frac{-1}{2}, g(x)=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}\Leftrightarrow lnf(x)=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}\Leftrightarrow f(x)=e^{\frac{e^{x}}{2}-\frac{e^{-x}}{2}}$

#3

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Η $f:R\rightarrow \left(0,+\propto \right)$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με και $f''(x)=f(x)lnf(x)+\frac{(f'(x))^{2}}{f(x)}$ . Να βρεθεί ο τύπος της .

Καλησπέρα Λάμπρο και Γιάννη.
Η δοθείσα ισοδύναμα γίνεται: $\displaystyle{f(x)f''(x) = {f^2}(x)\ln f(x) + {\left( {f'(x)} \right)^2}}$ ή και $\displaystyle{f(x)f''(x) - {\left( {f'(x)} \right)^2} = {f^2}(x)\ln f(x)}$

ή $\displaystyle{\frac{{f(x)f''(x) - {{\left( {f'(x)} \right)}^2}}}{{{f^2}(x)}} = \ln f(x)}$ ή $\displaystyle{\left( {\frac{{f'(x)}}{{f(x)}}} \right)' = \ln f(x)}$ ή $\displaystyle{\left( {\ln f(x)} \right)'' = \ln f(x)}$

Θέτω g(x)=lnf(x).

Τότε έχω $\displaystyle{g''(x) = g(x) \Rightarrow g''(x) + g'(x) = g(x) + g'(x) \Rightarrow }$ $\displaystyle{\left( {g'(x){e^x}} \right)' = \left( {g(x){e^x}} \right)' \Rightarrow g'(x){e^x} = g(x){e^x} + c}$

Εύκολα c=1

επομένως $\displaystyle{g'(x){e^x} = g(x){e^x}+1\mathop \Rightarrow \limits^{{e^x} > 0} g'(x) = g(x)+e^{-x} }$ $\displaystyle{ \Rightarrow \left( {g(x){e^{ - x}}} \right)' = \left( { - \frac{{{e^{ - 2x}}}}{2}} \right)' \Rightarrow g(x){e^{ - x}} = - \frac{{{e^{ - 2x}}}}{2} + {c_1}}$

Για x=0

έχουμε $\displaystyle{c_{1}= \frac{1}{2} \Rightarrow }$ $\displaystyle{\ln f(x) = \frac{{{e^x}}}{2} - \frac{{{e^{ - x}}}}{2},x \in R \Rightarrow f(x) = {e^{\frac{{{e^x}}}{2} - \frac{{{e^{ - x}}}}{2}}},x \in R}$

συνάρτηση δεκτή μετά των επαληθεύσεων.

Σημείωση: Ένας λανθασμένος υπολογισμός σταθεράς με οδήγησε αρχικά σε λανθασμένο απαοτέλεσμα. Επανόρθωσα όμως.

kochris · #4

Έχω ακριβώς την ίδια λύση με τον stopjohn, απλά πρέπει να ελέγξουμε αν η συνάρτηση ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες..

#5

kochris έγραψε:Έχω ακριβώς την ίδια λύση με τον stopjohn, απλά πρέπει να ελέγξουμε αν η συνάρτηση ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες..

Λόγω του τρόπου με τον οποίο διατυπώνεται το πρόβλημα, δε χρειάζεται να κάνουμε επαλήθευση. Η ύπαρξη τέτοιας συνάρτησης εξασφαλίζεται από τον θεματοδότη. Κάτι τέτοιο θα ήταν απαραίτητο αν η εκφώνηση ήταν του τύπου:

Να βρεθεί η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ που έχει αυτές και τις άλλες ιδιότητες κτλ.

STOPJOHN · #6

Η συνάρτηση που βρήκα επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες ....θα ελέχξω πάλι τις πράξεις μου

Γιάννης

Εύρεση τύπου της f

Εύρεση τύπου της f

Re: Εύρεση τύπου της f

Re: Εύρεση τύπου της f

Re: Εύρεση τύπου της f

Re: Εύρεση τύπου της f

Re: Εύρεση τύπου της f

Μέλη σε σύνδεση