12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

parmenides51 · #1

Ας σημειωθεί οτι έχω τις λύσεις και την επιλογή δεν την έκανα εγώ.
Είναι κατάλληλες για να κεντρίσουν το ενδιαφέρον τον μικρών φίλων.
Ας τις αφήσουμε μέχρι τη μέρα του έρωτα, να ασχοληθούν οι μαθητές.
Μετά την ημέρα αυτή όποιος θέλει, ας ασχοληθεί.

01. Να βρεθούν οι φυσικοί $\displaystyle{x,y}$ που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{4^x+16^y=257}$ .

02. Αν ο ακέραιος $\displaystyle{a}$ δεν ειναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{5}$ ,
να βρείτε τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης $\displaystyle{a^2:5}$ .

03. Αν $\displaystyle{a,b,c,d,e}$ διαφορετικοί μεταξύ τους ακέραιοι, έτσι ώστε $\displaystyle{(6-a)(6-b)(6-c)(6-d)(6-e)=45}$ ,
ποια είναι η τιμή του αθροίσματος $\displaystyle{a+b+c+d+e}$ ;

04. Οι πλευρές $\displaystyle{a,b,c }$ ενός τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ είναι ρητοί αριθμοί.
Να δειχθεί οτι κάθε ύψος του τριγώνου χωρίζει επίσης την απέναντι πλευρά σε δυο τμήματα με ρητά μήκη.

05. Να βρεθούν οι πλευρές τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ , αν είναι γνωστό οτι είναι διαδοχικοί ακέραιοι
και είναι επίσης γνωστό πως μια διχοτόμος του είναι κάθετη με μια διάμεσο του.

06. Πόσα ορθογώνια με ακέραιες πλευρές και εμβαδό τριπλάσιο της περιμέτρου τους υπάρχουν;

07. Αν $\displaystyle{x+y+z=0}$ , μπορείτε να βρείτε την μεγαλύτερη δυνατή τιμή του αθροίσματος $\displaystyle{x+y}$ ,
αν επιπλέον γνωρίζετε οτι $\displaystyle{x+y+z^2=6}$ ;

08. Ποιος είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος $\displaystyle{n}$ για τον οποίο
ο $\displaystyle{\frac{n}{2} }$ είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου και ο $\displaystyle{\frac{n}{3}}$ τέλειος κύβος ακεραίου επίσης;

09. Μια κυρία έχει τρια παιδιά στο σχολείο. Το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της και της ίδιας είναι $\displaystyle{16.555}$ .
Σε τι ηλικία γέννησε το πρώτο της παιδί;

10. Μπορείτε να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακέραιους που το γινόμενο τους
να είναι ίσο με το οκταπλάσιο του αθροίσματός τους;

11. Μπορείτε να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακεραίους έτσι ώστε το άθροισμα
όλων των κλασμάτων που σχηματίζονται με όρους αυτούς τους αριθμούς να είναι ακέραιος;

12. Οι αριθμοί $\displaystyle{a,b,c}$ ικανοποιούν τις σχέσεις $\displaystyle{a^2+2b=7,b^2+4c=-7}$ και $\displaystyle{ c^2+6a=-14 }$ ,
μπορείτε να βρείτε την τιμή του αθροίσματος $\displaystyle{a^2+b^2+c^2}$ ;

edit 's:
1. Ενδεχομένως να είναι λίγο δύσκολες για Juniors, γι' αυτό και συμπλήρωσα στον τίτλο την λέξη Seniors.
2. Συμπληρώθηκαν τα κόκκινα γράμματα στο 9ο θέμα.

chrima · #2

Σχετικά με την άσκηση 02:
Κάθε ακέραιος αριθμός $\displaystyle{a}$ θα έχει ως τελευταίο ψηφίο του τους αριθμούς $\displaystyle{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.}$ Από αυτούς απορρίπτονται οι αριθμοί

και

επειδή αν ένας αριθμός λήγει σε

ή

είναι πολλαπλάσιος του

. Αν βρούμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του τελευταίου ψηφίου των τετραγώνων των αριθμών $\displaystyle{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}$ με το $\displaystyle{5}$ , βρίσκουμε τις λύσεις της άσκησης. Έτσι, έχουμε (όπου

το προηγούμενο μέρος του αριθμού

):

υπόλοιπο

$\displaystyle{x2 ^2 :5}$ υπόλοιπο

$\displaystyle{x3 ^2 :5}$ υπόλοιπο

$\displaystyle{x4 ^2 :5}$ υπόλοιπο

$\displaystyle{x6 ^2 :5}$ υπόλοιπο

$\displaystyle{x7 ^2 :5}$ υπόλοιπο

$\displaystyle{x8 ^2 :5}$ υπόλοιπο

$\displaystyle{x9 ^2 :5}$ υπόλοιπο

Έτσι συμπεραίνουμε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης $a^{2} :5$ θα είναι είτε

είτε

.

Theoxaris Malamidis · #3

parmenides51 έγραψε:Ας σημειωθεί οτι έχω τις λύσεις και την επιλογή δεν την έκανα εγώ.

12. Οι αριθμοί $\displaystyle{a,b,c}$ ικανοποιούν τις σχέσεις $\displaystyle{a^2+2b=7,b^2+4c=-7}$ και $\displaystyle{ c^2+6a=-14 }$ ,
μπορείτε να βρείτε την τιμή του αθροίσματος $\displaystyle{a^2+b^2+c^2}$ ;

edit: Ενδεχομένως να είναι λίγο δύσκολες για Juniors, γι' αυτό και συμπλήρωσα στον τίτλο την λέξη Seniors.

Προσθέτω κατα μέλη και οδηγούμε στην σχέση $\displaystyle (a+3)^{2}+(b+1)^{2}+(c+2)^{2}=0$ (1)
και απο την (1) συμπαραίνω ότι $\displaystyle a=-3$ , $\displaystyle b=-1$ , $\displaystyle c=-2$
$\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=14$

raf616 · #4

parmenides51 έγραψε:Ας σημειωθεί οτι έχω τις λύσεις και την επιλογή δεν την έκανα εγώ.
Είναι κατάλληλες για να κεντρίσουν το ενδιαφέρον τον μικρών φίλων.
Ας τις αφήσουμε μέχρι τη μέρα του έρωτα, να ασχοληθούν οι μαθητές.
Μετά την ημέρα αυτή όποιος θέλει, ας ασχοληθεί.

01. Να βρεθούν οι φυσικοί $\displaystyle{x,y}$ που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{4^x+16^y=257}$ .

Καλημέρα σας.

Αν $x, y \neq 0$ τότε εξετάζοντας τη δοθείσα $\pmod4$ έχουμε ότι $4^x + 16^y \equiv 0 \pmod 4$ , άτοπο αφού $257 \equiv 1 \pmod4$ . Άρα, ένας εκ των x, y

είναι

.

$\bullet$ x = 0

. Τότε:

$4^x + 16^y = 257 \Leftrightarrow 16^y = 256 \Leftrightarrow y = 2$ .

Άρα $\boxed{(x, y) = (0, 2)}$ .

$\bullet$ y = 0

. Τότε:

$4^x + 16^y = 257 \Leftrightarrow 4^x = 256 \Leftrightarrow x = 4$ .

Άρα, $\boxed{(x, y) = (4, 0)}$ .

*ΣΗΜ: Θεώρησα ότι $0 \in \Bbb{N}$ .

raf616 · #5

parmenides51 έγραψε: 03. Αν $\displaystyle{a,b,c,d,e}$ διαφορετικοί μεταξύ τους ακέραιοι, έτσι ώστε $\displaystyle{(6-a)(6-b)(6-c)(6-d)(6-e)=45}$ ,
ποια είναι η τιμή του αθροίσματος $\displaystyle{a+b+c+d+e}$ ;

Βάζω μία λύση με επιφύλαξη.

Ισχύει ότι $45 = 5 \cdot 3 \cdot 3$ . Μπορούμε όμως να γράψουμε $45 = 5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 1$ ή ακόμα καλύτερα $45 = 5 \cdot 3 \cdot (-3) \cdot 1 \cdot (-1)$ .

Άρα, χωρίς βλάβη της γενικότητας ισχύουν οι σχέσεις:

$\begin{cases} 6 - a = 5\\ 6 - b = 3 \\ 6 - c = -3 \\ 6 - d = 1 \\ 6 - e = -1 \end{cases}$

Εύκολα τώρα έχουμε ότι a + b + c + d + e = 25

Ο λόγος που επιλέξαμε $45 = 5 \cdot 3 \cdot (-3) \cdot 1 \cdot (-1)$ είναι ότι οι αριθμοί είναι διαφορετικοί μεταξύ τους.(Για παράδειγμα, δεν θα μπορούσε να είναι 6 - b = 3

και

γιατί τότε b = c

που είναι άτοπο). Ακόμα δε θα μπορούσαμε να γράψουμε $45 = 45 = (-5) \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1 \cdot (-1)$ γιατί τότε θα είναι b = c

, άτοπο.

raf616 · #6

parmenides51 έγραψε: 07. Αν $\displaystyle{x+y+z=0}$ , μπορείτε να βρείτε την μεγαλύτερη δυνατή τιμή του αθροίσματος $\displaystyle{x+y}$ ,
αν επιπλέον γνωρίζετε οτι $\displaystyle{x+y+z^2=6}$ ;

Από την πρώτη ισότητα έχουμε x + y = -z

. Από τη δεύτερη έχουμε x + y = 6 - z^2

. Εξισώνοντας θα έχουμε:

$6 - z^2 = -z \Leftrightarrow z^2 - z - 6 = 0 \Leftrightarrow (z - 3)(z + 2) = 0 \Leftrightarrow z = 3 \vee z = -2$

Εύκολα βλέπουμε ότι η μέγιστη τιμή του x + y

πιάνεται όταν z = -2

και είναι

.

T-Rex · #7

raf616 έγραψε:
parmenides51 έγραψε:Ας σημειωθεί οτι έχω τις λύσεις και την επιλογή δεν την έκανα εγώ.
Είναι κατάλληλες για να κεντρίσουν το ενδιαφέρον τον μικρών φίλων.
Ας τις αφήσουμε μέχρι τη μέρα του έρωτα, να ασχοληθούν οι μαθητές.
Μετά την ημέρα αυτή όποιος θέλει, ας ασχοληθεί.

01. Να βρεθούν οι φυσικοί $\displaystyle{x,y}$ που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{4^x+16^y=257}$ .
Καλημέρα σας.

Αν $x, y \neq 0$ τότε εξετάζοντας τη δοθείσα $\pmod4$ έχουμε ότι $4^x + 16^y \equiv 0 \pmod 4$ , άτοπο αφού $257 \equiv 1 \pmod4$ . Άρα, ένας εκ των είναι .

$\bullet$ . Τότε:

$4^x + 16^y = 257 \Leftrightarrow 16^y = 256 \Leftrightarrow y = 2$ .

Άρα $\boxed{(x, y) = (0, 2)}$ .

$\bullet$ . Τότε:

$4^x + 16^y = 257 \Leftrightarrow 4^x = 256 \Leftrightarrow x = 4$ .

Άρα, $\boxed{(x, y) = (4, 0)}$ .

*ΣΗΜ: Θεώρησα ότι $0 \in \Bbb{N}$ .

Να γράψω κάτι γι αυτές τις ασκήσεις
προσπαθώ να τις λύσω με άρτιο-περιττό
Επειδί το

και το

είναι άρτιοι και οι δυνάμεις τους θα είναι άρτιοι και το άθροισμα θα είναι άρτιος Εδώ όμως είναι 257

Αρα το ένα από αυτά θα είναι περιττό .Αυτό γινεται μόνο όταν το

ή το

είναι μηδέν γιατί $4^{0}=1,16^{0}=1$

T-Rex · #8

10. Μπορείτε να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακέραιους που το γινόμενο τους
να είναι ίσο με το οκταπλάσιο του αθροίσματός τους;

Λύση.Οι αριθμοί θα είναι μικροί γιατί όσο μεγαλώνουν η διαφορά ανάμεσα στο γινόμενο και το άθροισμα γίνεται τεράστια Εχουμε $x.(x+1).(x+2)=8 (x+x+1+x+2)\Leftrightarrow x.(x+1).(x+2)=8(3x+3)\Leftrightarrow x.(x+1).(x+2)=8.3.(x+1)\Leftrightarrow x.(x+2)=24$
Αρα οι αριθμοί είναι 4,5,6

,επειδή όμως μας λέει για ακέραιους ψάχνουμε ΚΑΙ για αρνητικούς και είναι το -4,-5,-6

θα έχουμε $x.(x-1).(x-2)=8 (x+x-1+x-2)\Leftrightarrow x.(x-1).(x-2)=8(3x-3)\Leftrightarrow x.(x-1).(x-2)=8.3.(x-1)\Leftrightarrow x.(x-2)=24$
δηλαδή x=-4

Μετά την παρήρηση του Κυρίου Χρίστου θα πάρουμε και τους ακεραίους -1,0,1

γιατί το μηδέν ανήκει στους ακεραίους

#9

T-Rex έγραψε:10. Μπορείτε να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακέραιους που το γινόμενο τους
να είναι ίσο με το οκταπλάσιο του αθροίσματός τους;

Λύση.Οι αριθμοί θα είναι μικροί γιατί όσο μεγαλώνουν η διαφορά ανάμεσα στο γινόμενο και το άθροισμα γίνεται τεράστια Εχουμε $x.(x+1).(x+2)=8 (x+x+1+x+2)\Leftrightarrow x.(x+1).(x+2)=8(3x+3)\Leftrightarrow x.(x+1).(x+2)=8.3.(x+1)\Leftrightarrow x.(x+2)=24$
Αρα οι αριθμοί είναι ,επειδή όμως μας λέει για ακέραιους ψάχνουμε ΚΑΙ για αρνητικούς και είναι το θα έχουμε $x.(x-1).(x-2)=8 (x+x-1+x-2)\Leftrightarrow x.(x-1).(x-2)=8(3x-3)\Leftrightarrow x.(x-1).(x-2)=8.3.(x-1)\Leftrightarrow x.(x-2)=24$
δηλαδή

T-Rex πρόσεχε, το x+1

και μετά το x-1

που πήγε;

raf616 · #10

parmenides51 έγραψε: 10. Μπορείτε να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακέραιους που το γινόμενο τους
να είναι ίσο με το οκταπλάσιο του αθροίσματός τους;

Θα βάλω μία λύση.

Έστω a, a + 1, a + 2

οι αριθμοί. Τότε, από την υπόθεση έχουμε:

$\displaystyle{a(a + 1)(a + 2) = 8(a + a + 1 + a + 2) \Leftrightarrow a(a + 1)(a + 2) - 24(a + 1) = 0 \Leftrightarrow (a + 1)(a^2 + 2a - 24) = 0}$

Άρα, a = -1

που μας δίνει τους αριθμούς -1, 0, 1

ή

.

Η παραπάνω μας δίνει λύσεις a = 4

ή

οπότε έχουμε τους αριθμούς 4, 5, 6

ή

αντίστοιχα.

T-Rex · #11

xr.tsif έγραψε:
T-Rex έγραψε:10. Μπορείτε να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακέραιους που το γινόμενο τους
να είναι ίσο με το οκταπλάσιο του αθροίσματός τους;

Λύση.Οι αριθμοί θα είναι μικροί γιατί όσο μεγαλώνουν η διαφορά ανάμεσα στο γινόμενο και το άθροισμα γίνεται τεράστια Εχουμε $x.(x+1).(x+2)=8 (x+x+1+x+2)\Leftrightarrow x.(x+1).(x+2)=8(3x+3)\Leftrightarrow x.(x+1).(x+2)=8.3.(x+1)\Leftrightarrow x.(x+2)=24$
Αρα οι αριθμοί είναι ,επειδή όμως μας λέει για ακέραιους ψάχνουμε ΚΑΙ για αρνητικούς και είναι το θα έχουμε $x.(x-1).(x-2)=8 (x+x-1+x-2)\Leftrightarrow x.(x-1).(x-2)=8(3x-3)\Leftrightarrow x.(x-1).(x-2)=8.3.(x-1)\Leftrightarrow x.(x-2)=24$
δηλαδή
T-Rex πρόσεχε, το και μετά το που πήγε;

ΥΓ Να προσέχουμε γιατί το το μηδέν ανήκει στους ακεραίους ....ΥΓ Κε Χρίστο σας την έφερα από τις δέκα φορές που το έγραψα εννέα φορές έκανα επικόλληση

T-Rex · #12

09. Μια κυρία έχει τρια παιδιά στο σχολείο. Το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της είναι $\displaystyle{16.555}$ .
Σε τι ηλικία γέννησε το πρώτο της παιδί;

Αν αναλύσουμε το 16555

σε γινόμενο πρώτων παραγόντων θα είναι
16555=5.7.11.43

Και το λογικό είναι 43,35,11

και όταν γεννήθηκε τελευταίος ο πρώτος ήταν

χρονών και η μητέρα , ;;;;
και τα δύο παιδιά είναι δάσκαλοι και ο μικρός μαθητής;;;;;

ealexiou · #13

Μήπως στο γινόμενο είναι και η ηλικία της μητέρας?

parmenides51 · #14

έχετε δίκιο για το 09, στο γινόμενο είναι και η ηλικία της μάνας

το διορθώνω, σόρρυ για την ταλαιπωρία

T-Rex · #15

parmenides51 έγραψε:έχετε δίκιο για το 09, στο γινόμενο είναι και η ηλικία της μάνας
το διορθώνω, σόρρυ για την ταλαιπωρία

09. Μια κυρία έχει τρια παιδιά στο σχολείο. Το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της και της ίδιας είναι 16.555

Σε τι ηλικία γέννησε το πρώτο της παιδί;

Δεν πειράζει .Είχε πλάκα ,γελάσαμε αρκετά
Τώρα 16555=5.7.11.43

Αρα η ηλικία της μητέρας είναι

και των παιδιών 5,7,11

και το πρώτο παιδί το γεννησε σε ηλικία 43-11=32

T-Rex · #16

05 Να βρεθούν οι πλευρές τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ , αν είναι γνωστό οτι είναι διαδοχικοί ακέραιοι
και είναι επίσης γνωστό πως μια διχοτόμος του είναι κάθετη με μια διάμεσο του.

Αφου η διχοτόμος είναι κάθετη προς την διάμεσο το τρίγωνο θα είναι ισοσκελές γιατί στο ισοσκελές η διχοτόμος είναι και ύψος,άρα η μια πλευρά του τριγώνου ABC

θα έιναι μισή από την άλλη και επειδή είναι διαδοχικοί αριθμοί θα είναι 1,2,3

ή

γιατί μόνο σε αυτές τις περιπτώσεις τριών διαδοχικών ακεραίων είναι ο ένας διπλάσιος από τον τρίτο
Ομως με το 1,2,3

δεν γίνεται τρίγωνο γιατί 1+2=3

και δεν μπορεί οι δύο πλευρές να είναι ίσες με την υποτείνουσα (θα είναι η μία γωνία του τριγώνου 180 μοίρες που δεν γίνεται)
Δεν ξέρω αν υπάρχει άλλη περίπτωση
Την περίπτωση αρνητικών ακεραίων και του

(να μην το ξεχνώ) δεν τα υπολογίζουμε γιατί οι πλευρές του τριγώνου ειναι θετικοί αριθμοί

raf616 · #17

T-Rex έγραψε:05 Να βρεθούν οι πλευρές τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ , αν είναι γνωστό οτι είναι διαδοχικοί ακέραιοι
και είναι επίσης γνωστό πως μια διχοτόμος του είναι κάθετη με μια διάμεσο του.

Αφου η διχοτόμος είναι κάθετη προς την διάμεσο το τρίγωνο θα είναι ισοσκελές γιατί στο ισοσκελές η διχοτόμος είναι και ύψος,άρα η μια πλευρά του τριγώνου θα έιναι μισή από την άλλη και επειδή είναι διαδοχικοί αριθμοί θα είναι ή γιατί μόνο σε αυτές τις περιπτώσεις τριών διαδοχικών ακεραίων είναι ο ένας διπλάσιος από τον τρίτο
Ομως με το δεν γίνεται τρίγωνο γιατί και δεν μπορεί οι δύο πλευρές να είναι ίσες με την υποτείνουσα
Δεν ξέρω αν υπάρχει άλλη περίπτωση
Την περίπτωση αρνητικών ακεραίων και του (να μην το ξεχνώ) δεν τα υπολογίζουμε γιατί οι πλευρές του τριγώνου ειναι θετικοί αριθμοί

Επειδή έχω ασχοληθεί με την άσκηση νομίζω πως οι περιπτώσεις που πρέπει να ελέγξουμε είναι έξι. Σε κάθε αποτέλεσμα που θα βρίσκουμε θα πρέπει να βλέπουμε αν ισχύει η

τριγωνική ανισότητα ώστε το τρίγωνο να υπάρχει.

T-Rex · #18

raf616 έγραψε:
T-Rex έγραψε:05 Να βρεθούν οι πλευρές τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ , αν είναι γνωστό οτι είναι διαδοχικοί ακέραιοι
και είναι επίσης γνωστό πως μια διχοτόμος του είναι κάθετη με μια διάμεσο του.

Αφου η διχοτόμος είναι κάθετη προς την διάμεσο το τρίγωνο θα είναι ισοσκελές γιατί στο ισοσκελές η διχοτόμος είναι και ύψος,άρα η μια πλευρά του τριγώνου θα έιναι μισή από την άλλη και επειδή είναι διαδοχικοί αριθμοί θα είναι ή γιατί μόνο σε αυτές τις περιπτώσεις τριών διαδοχικών ακεραίων είναι ο ένας διπλάσιος από τον τρίτο
Ομως με το δεν γίνεται τρίγωνο γιατί και δεν μπορεί οι δύο πλευρές να είναι ίσες με την υποτείνουσα
Δεν ξέρω αν υπάρχει άλλη περίπτωση
Την περίπτωση αρνητικών ακεραίων και του (να μην το ξεχνώ) δεν τα υπολογίζουμε γιατί οι πλευρές του τριγώνου ειναι θετικοί αριθμοί
Επειδή έχω ασχοληθεί με την άσκηση νομίζω πως οι περιπτώσεις που πρέπει να ελέγξουμε είναι έξι. Σε κάθε αποτέλεσμα που θα βρίσκουμε θα πρέπει να βλέπουμε αν ισχύει η

τριγωνική ανισότητα ώστε το τρίγωνο να υπάρχει.

Ωχ Ραφαήλ πες 3-4 άκου 6 ποιός ξαναψάχνει ζαλίστηκα στα σχήματα φεύγω πάω για σκάκι

raf616 · #19

T-Rex έγραψε:
raf616 έγραψε:
T-Rex έγραψε:05 Να βρεθούν οι πλευρές τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ , αν είναι γνωστό οτι είναι διαδοχικοί ακέραιοι
και είναι επίσης γνωστό πως μια διχοτόμος του είναι κάθετη με μια διάμεσο του.

Αφου η διχοτόμος είναι κάθετη προς την διάμεσο το τρίγωνο θα είναι ισοσκελές γιατί στο ισοσκελές η διχοτόμος είναι και ύψος,άρα η μια πλευρά του τριγώνου θα έιναι μισή από την άλλη και επειδή είναι διαδοχικοί αριθμοί θα είναι ή γιατί μόνο σε αυτές τις περιπτώσεις τριών διαδοχικών ακεραίων είναι ο ένας διπλάσιος από τον τρίτο
Ομως με το δεν γίνεται τρίγωνο γιατί και δεν μπορεί οι δύο πλευρές να είναι ίσες με την υποτείνουσα
Δεν ξέρω αν υπάρχει άλλη περίπτωση
Την περίπτωση αρνητικών ακεραίων και του (να μην το ξεχνώ) δεν τα υπολογίζουμε γιατί οι πλευρές του τριγώνου ειναι θετικοί αριθμοί
Επειδή έχω ασχοληθεί με την άσκηση νομίζω πως οι περιπτώσεις που πρέπει να ελέγξουμε είναι έξι. Σε κάθε αποτέλεσμα που θα βρίσκουμε θα πρέπει να βλέπουμε αν ισχύει η

τριγωνική ανισότητα ώστε το τρίγωνο να υπάρχει.
Ωχ Ραφαήλ πες 3-4 άκου 6 ποιός ξαναψάχνει ζαλίστηκα στα σχήματα φεύγω πάω για σκάκι

Χαχα, όντως είναι πολλά τα σχήματα!

parmenides51 · #20

οι παραπάνω ασκήσεις επιλέχθηκαν και λύθηκαν από τον Β. Ε. Βισκαδουράκη εδώ (τον υπεύθυνο του περιοδικού Φι)
είχαν τον τίτλο 12 Μικρές Μαθηματικές Προκλήσεις , τις πέτυχα στην σελίδα εδώ

12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Re: 12 προκλήσεις για Juniors/Seniors μέχρι 14 Φλεβάρη

Μέλη σε σύνδεση