Εφαρμογές των παραγώγων

peter · #1

Άσκηση 1. Έστω $f:[a,b]\to \mathbb R$ δυο φορές παραγωγίσιμη με f(a)=f(b)=0

,

για

και

για κάθε $x\in [a,b]$ . Τότε, $b-a\geq \pi$ .

Άσκηση 2. Έστω $f:\mathbb R\to \mathbb R$ δυο φορές παραγωγίσιμη με $(f(x))^2\leq 1$ και $(f{'}(x))^2+(f{''}(x))^2\leq 1$ για κάθε $x\in \mathbb R$ . Τότε, είναι $(f{'}(x))^2+(f(x))^2\leq 1$ για κάθε $x\in \mathbb R$ .

Άσκηση 3. Έστω $f:[0,\infty)\to \mathbb R$ με συνεχή παράγωγο, ώστε: $\displaystyle \lim_{t\to \infty}[f{'}(t)-(f(t))^4]=0$ . Τότε, $\displaystyle \lim_{t\to \infty}f(t)=0$ .

mathxl · #2

Ουφφ ουφφ...Κάποιες σκέψεις (ψιλοζαλίστηκα) και όχι λύσεις
Άσκηση 1
Σίγουρα η f έχει μέγιστο σε εσωτερικό σημείο και f΄(β)=<0 το άθροισμα της f με την f΄΄ παραπέμπει σε συνάρτηση της μορφής (αριθμός) επί ημ(χ+κάτι) όμως τότε f+f΄΄=0 .....
Άσκηση 2
Μία τέτοια συνάρτηση είναι η f(x)=c sin(x) , c ανήκει [0,1]...άτοπο και εδώ..για την ώρα θα κάνω διάλλειμμα σε αυτές

#3

Στο $\displaystyle{(a,b)}$ ισχύουν

$\displaystyle{f+f''>0\Rightarrow 1+\frac{f''}{f}>0\Rightarrow 1+(\frac{f'}{f})^2+(\frac{f'}{f})'>0}$ θέτοντας $\displaystyle{\frac{f'}{f}=tanw}$ παίρνουμε $\displaystyle{w'+1>0\Rightarrow x+w \uparrow,a<x<b}$

όμως $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow a^+}w=\frac{\pi}{2},\lim_{x\rightarrow b^-}w=-\frac{\pi}{2}}$ διότι $\displaystyle{f(a)=f(b)=0^+}$ και $\displaystyle{f'(a+)>0,f'(b-)<0}$ γιατί αλλιως δεν θα μπορούσε $\displaystyle{f(x)>0}$ στο $\displaystyle{(a,b)}$

αρα εύκολα προκύπτει το ζητούμενο από την μονοτονία και τα όρια

#4

Νομίζω πως αυτές ξεχάστηκαν ?!
Αποσύρω την λανθασμένη λύση μου και θα επανέλθω σε συνημμένο (κουραστική η πληκτρολόγηση αυτής της άσκησης)

peter · #5

R BORIS έγραψε: οποτε η f δεν θα έχει ρίζα για χ κοντά στο άπειρο

Αυτό δεν είναι σωστό. Π.χ. η $f(x)=\sin x$ δεν έχει όριο στο $+\infty$ . Αλλά έχει άπειρες ρίζες σε κάθε περιοχή του απείρου.

Η άρνηση του ότι δεν είναι $\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=0$ είναι: Υπάρχει τέτοιο ώστε: για κάθε υπάρχει με .

Εφαρμογές των παραγώγων

Εφαρμογές των παραγώγων

Re: Εφαρμογές των παραγώγων

Re: Εφαρμογές των παραγώγων

Re: Εφαρμογές των παραγώγων

Re: Εφαρμογές των παραγώγων

Μέλη σε σύνδεση