ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2012 - ΛΥΚΕΙΟ

[achilleas]

Για όσους δεν το είδαν, ο Δημήτρης Μελάς (γιος τους γνωστού Αντώνη Μελά) κατέκτησε αργυρό μετάλλιο στους junior, παρόλο που πηγαίνει στη ΣΤ Δημοτικό. Επίσης απέσπασε και 1ο Βραβείο στον Ευκλείδη της Γ(!) γυμνασίου. Θα πρέπει να περιμένουμε μεγάλα πράγματα από τον Μελά junior...
Αξιοσημείωτο επίσης ότι ο Βλάσσης Μάνος, μαθητής της Α Γυμνασίου, κατέκτησε χάλκινο μετάλλιο στους μικρούς.

Κατά τα άλλα τόσο ο Παναγιώτης (Λώλας) όσο και τα Τρίκαλα συνέχισαν την παράδοσή τους.

Συγχαρητήρια σε όλους και καλή συνέχεια...

Απ'οτι βλέπω, ο Δ.Μελάς είχε διακριθεί στον Αρχιμήδη των μικρών και πέρυσι ως μαθητής της Ε' Δημοτικού! http://www.hms.gr/node/548

Φιλικά,

Αχιλλέας

[Νασιούλας Αντώνης]

Απ'οτι βλέπω, ο Δ.Μελάς είχε διακριθεί στον Αρχιμήδη των μικρών και πέρυσι ως μαθητής της Ε' Δημοτικού! http://www.hms.gr/node/548
Φιλικά,
Αχιλλέας

Για να είμαι ειλικρινής, ήμουν πέρσι στην βράβευση και δεν θυμάμαι να έχει πάρει μετάλλιο ο Δ. Μελάς. Θυμάμαι που είχε πάρει βραβείο στον Ευκλείδη. Επίσης, αν δεν με απατά η μνήμη μου, το Σάββατο το απόγευμα που περιμέναμε με τα παιδιά τα αποτελέσματα στα γραφεία της ΕΜΕ είχε ρωτήσει κάποιος τους υπεύθυνους αν ο Δ. Μελάς πήρε μετάλλιο και η απάντηση ήταν ότι το έχασε για λίγο.
Ίσως έγινε κάποια αναβαθμολόγηση εκ των υστέρων, αλλιώς εγώ δεν θα θυμάμαι κάτι καλά.

[Ilias_Zad]

Συγχαρητήρια και από μένα σε όλα τα παιδιά που διακρίθηκαν. Iδιαίτερα στους Παναγιώτη Λώλα και Σαράντη Μιχάλη που τους γνωρίζω καλά και άξιζαν την διάκριση τους με το παραπάνω.

Για τα θέματα πιστεύω πως τα πρώτα 2 ήταν αρκετά απλά , το 4 μέτριο και το 3 απαιτητικό.
Η βασική παρατήρηση στο 3 είναι ουσιαστικά να δειχτεί ότι ισοδύναμα ζητάμε το ελάχιστο πλήθος (όχι απαραίτητα διαφορετικών) ακεραίων έτσι ώστε όλα τα πιθανά αθροίσματα τους να σχηματίζουν τουλάχιστον τους αριθμούς . Aν πάρουμε τώρα ακεραίους σχηματίζουμε με αθροίσματα το πολύ διαφορετικούς ακέραιους. Άρα για να σχηματίσουμε ακέραιους πρέπει . Τέλος για , το σύνολο βλέπουμε ότι είναι οκ από την δυαδική αναπαράσταση κάθε ακέραιου.
Στην γενική περίπτωση όπως είπε και ο Νίκος , για τυχαίο n η παραπάνω λογική δίνει άμεσα το ελάχιστο πλήθος .

[Nick Rapanos]

Ωραίο το τρίτο και πολύ κομψή η λύση του Ηλία!

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Μία άλλη ματιά στο 4ο:
Η εγγεγραμμένη γωνία του κύκλου , ισούται με την επίκεντρη , επομένως το τόξο είναι διπλάσιο του τόξου , όπου η τομή της με τον κύκλο . Δηλαδή το σημείο είναι συμμετρικό του ως προς την ευθεία και φυσικά η χορδή είναι η συμμετρική της ως προς την ίδιο άξονα. Όμοια, ο κύκλος , τέμνει τον σε σημείο , τέτοι ώστε η , να τέμνει τον στο συμμετρικό το υ ως προς , δηλαδή στο . Επομένως, και λόγω συμμετρίας. Με όμοιο τρόπο προκύπτουν και οι ισότητες καθώς ο κύκλος διέρχεται από το σημείο που είναι το σημείο των του τριγώνου μας.

[chris]

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά για τις διακρίσεις τους! Προσωπικά χαίρομαι ιδιαίτερα για τον Παναγιώτη ,τον Κωνσταντίνο και την Νικολέτα από τα μέρη μας αν και οι επιτυχίες τους ήταν αναμενόμενες.Καλή συνέχεια σε όλους.

Πολύ όμορφη η παρατήρηση του Ηλία στο 3ο.

[ArgirisM]

Σήμερα, ενώ είχε έρθει ο καθηγητής μου να κάνουμε τα μαθηματικά της κατεύθυνσης, του έδωσα να δει λίγο τα προχθεσινά θέματα για να μου πει την άποψή του, κυρίως πάνω στο ομολογουμένως δύσκολο τρίτο θέμα. Αφού προβληματίστηκε λίγο στην αρχή, μετά έκανε κάποιες προσπάθειες να προσεγγίσει το θέμα για μικρότερο πλήθος συνόλων και να γενικεύσει το συμπέρασμα επαγωγικά. Μετά από μερικές ανεπιτυχείς προσπάθειες, πρότεινε μία εξαιρετικά ενδιαφέρουσα ιδέα, στηριζόμενος στην οποία έκανα την ακόλουθη λύση. Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί σαν πρόβλημα συνδυαστικής γεωμετρίας! Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής:
Θεωρούμε τα στοιχεία του συνόλου ως σημεία, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το πάνω πάνω είναι το ένα και μοναδικό στοιχείο του , τα αμέσως από κάτω είναι αυτά του και ούτω καθ' εξής. Πρέπει εμείς να βρούμε μία μέθοδο "παίρνοντας" τον ίδιο αριθμό σημείων από κάθε γραμμή, με τέτοιο τρόπο ώστε να έχουμε το μέγιστο αριθμό σημείων κάθε φορά που εφαρμόζουμε αυτή τη διαδικασία. Για να έχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα δουλεύουμε ως εξής: από σημείο της υποτείνουσας του σχηματιζόμενου ορθογωνίου και τριγώνου φέρουμε παράλληλες προς τις κάθετες πλευρές. Το σχήμα που προκύπτει είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο σε κάθε περίπτωση, οπότε περικλείεται ο ίδιος αριθμός σημείων από κάθε γραμμή. Πρέπει λοιπόν να βρούμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που θα περικλύει τον μεγαλύτερο αριθμό σημείων, έχοντας έτσι το μεγαλύτερο εμβαδόν. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι σταθερή και ίση με το διπλάσιο μίας κάθετης πλευράς. Επειδή ως γνωστόν από τα ορθογώνια με την ίδια περίμετρο το μέγιστο εμβαδόν το έχει το τετράγωνο, οι παράλληλες θα αχθούν από το μέσο της υποτείνουσας ώστε να προκύψει ένα τετράγωνο, που τα σημεία/στοιχεία που περικλύει θα απομονώσουμε για να σχηματίσουμε το . Εφαρμόζουμε έξι φορές αυτή τη διαδικάσια, μέχρι που μας μένουν τρία σημεία σε κάθε άκρη του τριγώνου, αυτά που αντιστοιχούν στα στοιχεία των. Με αυτά σχηματίζουμε άλλα δύο σύνολα, οπότε έχουμε ότι είναι το λιγότερο . Πώς σας φαίνεται σαν προσέγγιση;

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Αργύρη,
Πραγματικά θαυμάσια προσέγγιση.
Αξίζουν συγχαρητήρια στον καθηγητή σου.
Από χθές το βράδυ που επέστρεψα από Αθήνα, κάτι μου έλεγε ότι υπάρχει μία γεωμετρική προσέγγιση, αλλά δεν κατάφερα να ολοκληρώσω τη σκέψη μου.
Έχω μόνο μία μικρή αμφιβολία για το τι γίνεται αν σε κάποιο βήμα δεν επιέξουμε τετράγωνο (μέγιστο εμβαδόν).

[dimitris pap]

Κατ' αρχάς συγχαρητήρια σε όλους τους συμμετέχοντες!!

Το τρίτο θέμα ήταν αρκετά καλό και η λύση του Ηλία ακόμα καλύτερη.

Οσον αφορά την προσέγγιση σου Αντώνη με συνδυαστική γεωμετρία, είναι πραγματικά εντυπωσιακή (βασικά με το που είδα το πρόβλημα σχηματισα ένα αντίστοιχο ισόπλευρο τρίγωνο, αλλά το ορθογώνιο βοηθά αρκετά στη σκέψη!). Παρ' όλα αυτά έχω μια μικρή ένσταση. Λες "πρέπει να βρούμετο ορθογώνιο που να περικλείει τον μεγαλύτερο αριθμό σημείων". Νομίζω ότι πρέπει να διερευνήσεις πιο πολύ (δεν είναι αυτονόητο) το γιατί αυτή η προσέγγιση θα σου δώσει το καλύτερο αποτέλεσμα (πράγματι δεν είναι και πολύ δύσκολο να αποδειχτεί). Δηλαδή θα ήταν πιθανό το Μ1 να μην έχει τον μέγιστο αριθμό σημείων, και παρ' όλα αυτά αυτό να σου δίνει μικρότερο .

[kwpap]

Μία ακόμη προσέγγιση για το τέταρτο θέμα της γεωμετρίας μέσω ίσων τόξων:

Το τρίγωνο είναι ισοσκελές, οπότε οι γωνίες OCB και CBO είναι ίσες. Όμως και από το γεγονός ότι τα και είναι εγγεγραμμένα έχουμε ότι όλες οι γωνίες με ανοιχτό πράσινο χρώμα θα είναι ίσες. Ομοίως και με τις κόκκινες γωνίες μέσω του ισοσκελούς και με των εγγεγραμμένων και και με τις γαλάζιες γωνίες μέσω του ισοσκελούς και των εγγεγραμμένων και .
(Τα τρίγωνα , , και είναι ισοσκελή γιατί έχουν 2 πλευρές ακτίνες του κύκλου)

Τα τρίγωνα , και είναι ισοσκελή αφού οι , , , , και είναι ακτίνες το κύκλου .

Έτσι ισχύει ότι οι γωνίες γιατί αποτελούν διαφορές ίσων τμημάτων (των γωνιών του ισοσκελούς μείον των γωνιών που αποδείξαμε στην αρχή πως είναι ίσες. Ομοίως και οι γωνίες και .

Οι γωνίες όμως βαίνουν στα τόξα και ανά δύο κυκλικά, το οποίο συνεπάγεται πως τα τρία τόξα είναι ίσα.

Όμως τότε και οι επίκεντρες γωνίες και είναι ίσες. Άρα με στροφή ίση με στα σημεία με κέντρο το , τα σημεία των δύο τριγώνων θα ταυτίζονται. Άρα τα δύο τρίγωνα είναι ίσα!

[R BORIS]

θεμα 2ο άλλη μια λύση
οπότε άρα
τότε και με τιμές του αρα αντίστοιχα,

[asxetos]

Συγχαρητήρια και από μένα σε όλα τα παιδιά που διακρίθηκαν. Iδιαίτερα στους Παναγιώτη Λώλα και Σαράντη Μιχάλη που τους γνωρίζω καλά και άξιζαν την διάκριση τους με το παραπάνω.

Για τα θέματα πιστεύω πως τα πρώτα 2 ήταν αρκετά απλά , το 4 μέτριο και το 3 απαιτητικό.
Η βασική παρατήρηση στο 3 είναι ουσιαστικά να δειχτεί ότι ισοδύναμα ζητάμε το ελάχιστο πλήθος (όχι απαραίτητα διαφορετικών) ακεραίων έτσι ώστε όλα τα πιθανά αθροίσματα τους να σχηματίζουν τουλάχιστον τους αριθμούς . Aν πάρουμε τώρα ακεραίους σχηματίζουμε με αθροίσματα το πολύ διαφορετικούς ακέραιους. Άρα για να σχηματίσουμε ακέραιους πρέπει . Τέλος για , το σύνολο βλέπουμε ότι είναι οκ από την δυαδική αναπαράσταση κάθε ακέραιου.
Στην γενική περίπτωση όπως είπε και ο Νίκος , για τυχαίο n η παραπάνω λογική δίνει άμεσα το ελάχιστο πλήθος .

Καλησπέρα!

Μπορεί κάποιος να εξηγήσει λίγο παραπάνω την πρόταση:

Η βασική παρατήρηση στο 3 είναι ουσιαστικά να δειχτεί ότι ισοδύναμα ζητάμε το ελάχιστο πλήθος (όχι απαραίτητα διαφορετικών) ακεραίων έτσι ώστε όλα τα πιθανά αθροίσματα τους να σχηματίζουν τουλάχιστον τους αριθμούς .

Γιατί είναι αυτο ισοδύναμο με το ζητούμενο;

Ευχαριστώ πολύ.